Упругий стержень длины \(l_1\), летящий со скоростью \(v\), сталкивается своим торцом с торцом неподвижного стержня длины \(l_2\), \(l_1/c_1 > l_2/c_2\), где \(c_1\) и \(c_2\) — скорости звука соответственно в одном и другом стержне. Сечение стержней и плотность их материала одинаковы. Определите скорость центров масс стержней после столкновения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость границы. Плотности равны, но скорости звука разные, поэтому волновые сопротивления \(Z_i = \rho c_i\) различаются. Из непрерывности скорости и напряжения на границе (задача 3.8.14) сразу получается
\[ u = \frac{Z_1}{Z_1+Z_2}\,v = \frac{c_1}{c_1+c_2}\,v. \]Это скорость вещества за фронтами обеих волн.
Кто «отработает» первым. По условию \(l_1/c_1 > l_2/c_2\), значит первым возвращается отражённый импульс во втором стержне, в момент \(t = 2l_2/c_2\). К этому моменту весь второй стержень недеформирован и движется со скоростью
\[ v_2 = 2u = \frac{2c_1}{c_1+c_2}\,v, \]и контакт прекращается.
Первый стержень — из импульса. Полный импульс сохраняется:
\[ \rho S l_1 v = \rho S l_1 v_1 + \rho S l_2 v_2 \quad\Longrightarrow\quad v_1 = v\left(1 - \frac{2l_2}{l_1}\cdot\frac{c_1}{c_1+c_2}\right). \]Часть первого стержня осталась сжатой и колеблется — «звон» уносит недостающую энергию.
Симметричный случай. Если наоборот, \(l_1/c_1 < l_2/c_2\), то первым «отработает» летящий стержень, и
\[ v_1 = 2u - v = \frac{c_1-c_2}{c_1+c_2}\,v, \qquad v_2 = \frac{2l_1c_2}{l_2\,(c_1+c_2)}\,v. \]При равных скоростях звука (\(c_1 = c_2 = c\), то есть \(l_1 < l_2\)) это даёт очень наглядный результат:
\[ v_1 = 0,\qquad v_2 = \frac{l_1}{l_2}\,v \]— летящий стержень останавливается намертво, а весь импульс уходит второму.