Длина волны, прошедшей через плоскую границу раздела из одной среды во вторую, сокращается во столько же раз, во сколько уменьшается во второй среде скорость распространения волны. Используя этот факт, а также закон сохранения энергии и импульса, определите, во сколько раз амплитуда отражённой волны и волны, прошедшей во вторую среду, меньше амплитуды падающей волны. Плотность и модуль упругости сред равны соответственно \(\rho_1\), \(E_1\) и \(\rho_2\), \(E_2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Волновое сопротивление. Ключевая величина — акустический импеданс
\[ Z = \rho c = \rho\sqrt{\frac{E}{\rho}} = \sqrt{\rho E}. \]Для волны, идущей в положительном направлении, \(\sigma = -Z u\); для встречной \(\sigma = +Z u\) (знак связан с тем, что деформация и скорость меняются местами).
Условия на границе. Пусть \(u\) — амплитуды скоростей: падающей \(u_{\text{пад}}\), отражённой \(u_{\text{отр}}\) и прошедшей \(u_{\text{пр}}\).
\[ \text{скорости:}\quad u_{\text{пад}} + u_{\text{отр}} = u_{\text{пр}}, \] \[ \text{напряжения:}\quad Z_1\bigl(u_{\text{пад}} - u_{\text{отр}}\bigr) = Z_2\,u_{\text{пр}}. \]Решаем. Складывая и вычитая:
\[ \frac{u_{\text{отр}}}{u_{\text{пад}}} = \frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2} = \frac{\sqrt{\rho_1E_1}-\sqrt{\rho_2E_2}}{\sqrt{\rho_1E_1}+\sqrt{\rho_2E_2}}, \] \[ \frac{u_{\text{пр}}}{u_{\text{пад}}} = \frac{2Z_1}{Z_1+Z_2} = \frac{2\sqrt{\rho_1E_1}}{\sqrt{\rho_1E_1}+\sqrt{\rho_2E_2}}. \]Про длину волны. Указание из условия — про сокращение длины волны — нужно как раз для того, чтобы связать амплитуды скоростей с амплитудами смещений: при неизменной частоте \(u = \omega A\), поэтому те же самые множители связывают и смещения.