Задача 3.8.15вода — воздух
Условие
Коэффициентом прохождения волны называют отношение энергии проходящей волны к энергии падающей. Найдите этот коэффициент для звуковой волны на границе сред вода–воздух.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Всё определяется отношением волновых сопротивлений \(Z = \rho c\). У воды и воздуха они
различаются в тысячи раз — значит граница почти зеркальная, и в формуле можно смело
оставить главный член.
Формула. Через амплитуды из задачи 3.8.14 энергия проходящей волны относится к энергии падающей как
\[ D = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^{2}}. \]Если одно сопротивление много меньше другого (\(Z_1 \ll Z_2\)), то
\[ D \approx \frac{4Z_1}{Z_2}. \]Числа.
\[ Z_{\text{возд}} = 1{,}2\cdot340 \approx 4\cdot10^{2}\;\frac{\text{кг}}{\text{м}^2\text{с}}, \qquad Z_{\text{вода}} = 10^{3}\cdot1{,}4\cdot10^{3} = 1{,}4\cdot10^{6}. \] \[ D \approx \frac{4\cdot4\cdot10^{2}}{1{,}4\cdot10^{6}} \approx 1{,}1\cdot10^{-3}. \]Проходит примерно одна тысячная энергии — и, что важно, в обе стороны одинаково: формула симметрична относительно перестановки сред.
Проверка. \(D + R = 1\) с
\(R = \bigl(\frac{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}\bigr)^2 \approx 0{,}9989\) ✓ — отражается
практически всё. Отсюда житейские следствия: под водой почти не слышно, что говорят
снаружи, и наоборот ✓; рыбу пугает не крик с берега, а удар по лодке ✓. Симметричность
\(D\) объясняет, почему ныряльщик и наблюдатель на берегу «глухи» друг к другу
одинаково ✓. Именно чтобы обойти это, в медицине и дефектоскопии на кожу наносят гель — он
убирает воздушный зазор ✓ (это и есть задача 3.8.16).
Ответ
\( D = \dfrac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^{2}} \approx \dfrac{4\rho_1c_1}{\rho_2c_2}
\approx 1{,}1\cdot10^{-3} \).