Чтобы увеличить коэффициент прохождения волны, принимаемой пьезодатчиком, его подсоединяют к исследуемой среде через специальную прокладку. Плотность и скорость звука в исследуемой среде равны соответственно \(\rho_1\) и \(c_1\), плотность и скорость звука в прокладке и кристалле пьезодатчика равны соответственно \(\rho\), \(c\) и \(\rho_2\), \(c_2\). Пусть \(\rho_1c_1/\rho c = \rho c/\rho_2c_2 = 4\). Сравните по мощности сигналы, поступающие к датчику с прокладкой и без неё, если длительность сигнала меньше времени прохождения им прокладки.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Без прокладки. Отношение импедансов \(Z_1/Z_2 = 4\cdot4 = 16\), поэтому
\[ D_0 = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^{2}} = \frac{4\cdot16}{17^{2}} = \frac{64}{289} \approx 0{,}22 \](в задачнике эта величина округлена до \(4Z_2/Z_1 = 0{,}25\)).
С прокладкой. На каждой из двух границ отношение импедансов равно 4:
\[ D_1 = D_2 = \frac{4\cdot4}{5^{2}} = \frac{16}{25} = 0{,}64. \]Так как сигнал короткий, до датчика первым доходит тот, что прошёл обе границы без переотражений:
\[ D = D_1 D_2 = 0{,}64^{2} \approx 0{,}41. \]Выигрыш.
\[ \frac{D}{D_0} = \frac{0{,}41}{0{,}22} \approx 1{,}9 \]— мощность сигнала почти удваивается. Кроме первого импульса приходят ещё «эхо-сигналы», прошедшие прокладку 3, 5, … раза; они следуют через интервалы \(2l/c\), и их мощность убывает геометрической прогрессией.
Почему выгодно дробить скачок. Функция \(D(k) = 4k/(1+k)^2\) от отношения импедансов \(k\) очень быстро падает при больших \(k\). Разбив скачок \(k\) на два по \(\sqrt k\), получаем \(D = \bigl(4\sqrt k/(1+\sqrt k)^2\bigr)^2\), и это всегда больше. При многих ступеньках прохождение можно довести почти до единицы — так и делают в согласующих слоях.