На стенку (см. задачу 3.8.17) последовательно падают одинаковые звуковые сигналы. При каком расстоянии между ними амплитуда сигнала, прошедшего сквозь стенку, будет максимальной? Определите отношение максимальной амплитуды этого сигнала к амплитуде падающего сигнала. Изменится ли это отношение, если на стенку будет падать синусоидальная волна?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Условие совпадения. Эхо-сигналы за стенкой идут с интервалом \(L = 2lc_1/c_2\) (задача 3.8.17). Значит и падающие сигналы надо посылать с тем же расстоянием:
\[ L = \frac{2l\,c_1}{c_2}. \]Суммирование. Обозначим \(t\) — амплитудный коэффициент прохождения через одну границу, \(r\) — отражения изнутри. Первый импульс даёт за стенкой \(t_1t_2\), второй (после одного «пробега туда-обратно») \(t_1t_2r^{2}\), третий \(t_1t_2r^{4}\) и так далее. Если все они приходят одновременно, суммарная амплитуда
\[ A = t_1t_2\bigl(1 + r^{2} + r^{4} + \dots\bigr) = \frac{t_1t_2}{1-r^{2}}. \]Подставим \(t_1 = \dfrac{2Z_1}{Z_1+Z_2}\), \(t_2 = \dfrac{2Z_2}{Z_1+Z_2}\), \(r = \dfrac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}\):
\[ 1-r^{2} = \frac{(Z_1+Z_2)^{2}-(Z_2-Z_1)^{2}}{(Z_1+Z_2)^{2}} = \frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^{2}} = t_1t_2, \]и потому
\[ \boxed{\;A = 1\;} \]— амплитуда прошедшего сигнала равна амплитуде падающего. Стенка «просветляется» полностью, сколь бы велика ни была разница импедансов.
Синусоидальная волна. Ничего не изменится: непрерывная синусоида — это и есть предельный случай бесконечной последовательности сигналов, и условие совпадения фаз означает, что на толщине стенки укладывается целое число полуволн:
\[ l = n\,\frac{\lambda_2}{2}. \]Тогда отношение амплитуд по-прежнему равно единице. Это классическое резонансное прохождение через слой.