Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.8. Наложение и отражение волн

Савченко, задача 3.8.5

Задача 3.8.5◇ отражение от свободной границы

Условие

На свободной границе среда не деформирована. Воспользуйтесь приёмом решения задачи 3.8.3 и найдите возмущение, возникающее в среде при падении волны на её свободную границу.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Условие теперь другое: у границы должна обращаться в нуль не смещение, а деформация (значит и напряжение). Подберём такую волну-изображение, чтобы гасились именно деформации, — для этого её нельзя переворачивать.

Свободная граница: навстречу пускаем зеркальную неперевёрнутую волну смещений — тогда деформации у границы взаимно уничтожаются, как и должно быть.

Выбор изображения. Пустим навстречу зеркальную копию волны смещений без переворота. Деформация — это наклон профиля смещений; при зеркальном отражении наклон меняет знак. Значит у границы деформации двух волн равны по модулю и противоположны — они гасятся ✓. А смещения, наоборот, складываются: на свободном конце получается удвоенное смещение (пучность смещения и скорости).

Как отражается волна. Отражённая волна смещений не перевёрнута: горб возвращается горбом. Но её деформация имеет противоположный знак: волна сжатия отражается волной растяжения и наоборот. Это и есть главный вывод, который дальше работает в задачах 3.8.7–3.8.10.

Сводка двух случаев.

— Жёсткая стенка (задача 3.8.3): смещение переворачивается, деформация — нет; у границы узел смещения и пучность деформации (давления).
— Свободная граница: смещение не переворачивается, деформация переворачивается; у границы пучность смещения и узел деформации.

Проверка. Оба случая — зеркальные друг другу ✓, и в обоих энергия полностью возвращается: ни стенка, ни пустота работы не совершают ✓. Скорость на свободном конце удваивается ✓ — это прямо использовано в задачах 3.8.6 и 3.8.8. Аналогия со струной: закреплённый конец переворачивает импульс, свободный (колечко на гладком стержне) — нет ✓. Переворот деформации при отражении от свободной поверхности — причина откола ✓ (задачи 3.8.7–3.8.9).

Ответ Навстречу пускаем зеркальную неперевёрнутую волну смещений: тогда у границы деформации гасятся, а смещения удваиваются. Отражённая волна смещений не переворачивается, но знак её деформации противоположен: сжатие отражается растяжением.

Следующая задача 3.8.6 →