Скорость незакреплённого конца стержня из-за прихода волны продольного смещения с нулевого момента времени стала меняться по закону \(v = v_0\sin\omega t\). Какова амплитуда смещения? На каких расстояниях от конца стержня образуются узлы и пучности скорости? узлы и пучности давления?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Амплитуда волны. Пусть у падающей волны амплитуда скорости \(u_0\). На свободном конце падающая и отражённая волны дают одинаковые скорости, они складываются:
\[ v_0 = 2u_0 \quad\Longrightarrow\quad u_0 = \frac{v_0}{2}. \]Для гармонической волны амплитуда смещения связана с амплитудой скорости через частоту:
\[ A = \frac{u_0}{\omega} = \frac{v_0}{2\omega}. \]Узлы и пучности. Свободный конец — пучность скорости (и смещения) и узел давления (деформации). Дальше они чередуются через четверть длины волны:
\[ \text{пучности скорости, узлы давления:}\quad x = 0,\;\frac{\lambda}{2},\;\lambda,\dots \] \[ \text{узлы скорости, пучности давления:}\quad x = \frac{\lambda}{4},\;\frac{3\lambda}{4},\dots \]Первый узел скорости — на расстоянии \(\lambda/4\) от конца, где \(\lambda = 2\pi c/\omega\).