а. В свободном стержне длины \(L\), на конец которого действует с частотой \(\omega\) гармоническая сила, образуется стоячая волна с длиной волны \(\lambda\). Где находятся узлы напряжений этой волны? Какова амплитуда вынуждающей силы, если амплитуда напряжений в стоячей волне равна \(\sigma_0\), а сечение стержня равно \(S\)?
б. Постройте резонансную кривую — график зависимости величины \(\sigma_0S/F_0\) от частоты вынуждающей силы. Определите частоты, при которых величина \(\sigma_0S/F_0\) будет неограниченно возрастать. Можно ли утверждать, что эти частоты совпадают с собственными частотами колебаний стержня, когда на него не действуют внешние силы?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Стоячая волна напряжений. Пусть \(x\) — расстояние от свободного конца. Там \(\sigma = 0\), поэтому
\[ \sigma(x) = \sigma_0\,\sin\frac{2\pi x}{\lambda}. \]Узлы напряжений — там, где синус обращается в нуль:
\[ x = n\,\frac{\lambda}{2}, \qquad n = 0,1,2,\dots \]то есть на расстояниях от свободного конца, кратных \(\lambda/2\).
Связь с силой. На нагружаемом конце (\(x = L\)) напряжение создаётся внешней силой: \(\sigma(L) = F_0/S\). Значит
\[ \frac{F_0}{S} = \sigma_0\sin\frac{2\pi L}{\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;F_0 = \sigma_0 S\,\sin\frac{2\pi L}{\lambda}\;} \]б. Резонансная кривая. Отсюда
\[ \frac{\sigma_0 S}{F_0} = \frac{1}{\bigl|\sin(2\pi L/\lambda)\bigr|}, \qquad \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}, \]то есть \(\sigma_0S/F_0 = 1/|\sin(\omega L/c)|\). Величина эта никогда не меньше единицы и обращается в бесконечность там, где синус равен нулю:
\[ \frac{\omega L}{c} = \pi n \quad\Longrightarrow\quad \omega_n = \frac{\pi n c}{L}, \qquad\text{то есть}\qquad L = n\,\frac{\lambda}{2}. \]Совпадают ли они с собственными частотами? Да. Собственные колебания свободного стержня — это стоячие волны с узлами напряжений (пучностями смещений) на обоих концах, то есть \(L = n\lambda/2\) — в точности те же частоты. Физически это и понятно: резонанс наступает тогда, когда сколь угодно малая сила поддерживает конечные колебания, а такие колебания и есть свободные.