Задача 3.9.12за какие точки держать стержень
Условие
Найдите собственные частоты продольных колебаний стального стержня длины 1 м. За какие точки нужно подвесить этот стержень, чтобы затухание колебаний второй резонансной частоты было минимальным?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
У свободного стержня оба конца — пучности смещения, поэтому на длине укладывается целое
число полуволн. А подвешивать надо за узлы смещения нужной моды: там стержень
неподвижен, и подвес не отбирает энергию.
Собственные частоты. Условие \(L = n\lambda/2\) даёт \(\lambda = 2L/n\) и
\[ \nu_n = \frac{c}{\lambda} = \frac{n\,c}{2L} = \frac{n\cdot5\cdot10^{3}}{2\cdot1} = n\cdot2500\;\text{Гц}. \]Первая частота 2,5 кГц, вторая 5 кГц, третья 7,5 кГц и так далее.
Где узлы второй моды. При \(n = 2\) на стержне укладываются две полуволны, \(\lambda = L\). Смещение меняется как \(\cos(2\pi x/\lambda)\) с пучностями на концах; узлы — там, где косинус обращается в нуль:
\[ x = \frac{\lambda}{4} = \frac{L}{4} = 25\;\text{см} \quad\text{и}\quad x = \frac{3L}{4} = 75\;\text{см}. \]Значит подвешивать нужно в двух точках, отстоящих на 25 см от каждого конца.
Проверка. Для первой моды (\(n=1\)) единственный узел — ровно
посередине ✓, и стержень, звучащий на основном тоне, держат за середину. Для второй моды
середина — пучность, держать за неё нельзя ✓ — колебания погаснут мгновенно
(задача 3.9.23). Число узлов равно номеру моды ✓. Проверим частоту: \(c/2L = 2500\) Гц —
это слышимый диапазон, стержень звенит высоким тоном ✓. Заметим, что подвес в узле не
только не гасит колебания, но и не сдвигает частоту ✓.
Ответ
\( \nu_n = \dfrac{nc}{2L} = n\cdot2500 \) Гц. Для второй моды подвешивать в узлах — на
расстоянии 25 см от каждого конца.