Задача 3.9.13шарик вдвое больше
Условие
Как изменятся собственные частоты колебаний стального шарика при увеличении его радиуса вдвое?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Собственная частота любого упругого тела — это «скорость звука, делённая на размер»: на
теле должно уложиться целое число полуволн. Скорость звука зависит только от материала, а
он не изменился.
\[ \nu \sim \frac{c}{R}. \]
Скорость \(c = \sqrt{E/\rho}\) — свойство стали, она та же. Значит при \(R \to 2R\)
\[ \nu \to \frac{\nu}{2} \]— все собственные частоты уменьшатся вдвое, причём весь спектр целиком, без изменения его «рисунка»: отношения частот сохраняются, тембр остаётся прежним, а тон понижается на октаву.
Проверка. Масса выросла в 8 раз, а «жёсткость» тела — только
вдвое (\(k \sim ER\)), поэтому \(\nu \sim \sqrt{k/m} \sim \sqrt{ER/\rho R^{3}} =
(1/R)\sqrt{E/\rho}\) ✓ — тот же ответ, полученный иначе. Правило универсально: большой
колокол гудит ниже маленького ✓, большая скрипка (виолончель) звучит ниже ✓
(задача 3.9.19). Материал при этом важен не меньше размера: стеклянный шарик того же
размера зазвенит иначе, потому что у него другое \(\sqrt{E/\rho}\) ✓.
Ответ
Уменьшатся в два раза.