Между жёсткими параллельными стенками находится воздух. Одна из стенок начинает гармоническое движение с амплитудой \(A_0\) и частотой \(\omega\). Расстояние между стенками \(L \gg A_0\). До какой амплитуды смещения в пучности «раскачает» воздух эта стенка? Оцените время раскачки, если скорость звука в воздухе равна \(c\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Стоячая волна. Отсчитаем \(x\) от неподвижной стенки. Там узел, поэтому
\[ \xi(x) = A\,\sin\frac{\omega x}{c}, \]где \(A\) — амплитуда в пучности. На подвижной стенке (\(x = L\)) смещение задано:
\[ A\,\sin\frac{\omega L}{c} = A_0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;A = \frac{A_0}{\bigl|\sin(\omega L/c)\bigr|}\;} \]Время раскачки. Раскачка идёт так же, как накопление ударов в задаче 3.5.1: каждый период стенка добавляет в стоячую волну «порцию» амплитуды порядка \(A_0\), и эти порции складываются в фазе. Чтобы дорасти до \(A\), нужно
\[ N \sim \frac{A}{A_0} = \frac{1}{|\sin(\omega L/c)|} \]периодов, то есть время
\[ \tau \sim N\,T = \frac{2\pi}{\omega\,\bigl|\sin(\omega L/c)\bigr|}. \]Что происходит на резонансе. При \(\sin(\omega L/c) = 0\), то есть \(L = n\lambda/2\), формулы дают бесконечность и для амплитуды, и для времени. Это и есть резонанс: без затухания амплитуда растёт линейно и неограниченно (задача 3.5.34). В жизни рост останавливает вязкость и утечки, но амплитуда всё равно получается огромной — на этом работают все духовые инструменты и органные трубы.