Задача 3.9.21натяжение гитарной струны
Условие
С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины \(l = 60\) см и линейной плотности \(\mu = 0{,}1\) г/см, чтобы она звучала с частотой \(\nu = 100\) Гц на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
На первой гармонике на струне укладывается половина волны, значит \(\lambda = 2l\). А
скорость волны на струне \(c = \sqrt{F/\mu}\) (задача 3.6.20). Приравниваем
\(c = \lambda\nu\).
\[ \lambda = 2l,\qquad c = \lambda\nu = 2l\nu,\qquad c = \sqrt{\frac{F}{\mu}}, \]
\[ \frac{F}{\mu} = 4l^{2}\nu^{2}
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{\;F = 4\,l^{2}\nu^{2}\mu\;} \]
Числа. \(\mu = 0{,}1\;\text{г/см} = 0{,}01\;\text{кг/м}\), \(l = 0{,}6\) м:
\[ F = 4\cdot0{,}36\cdot10^{4}\cdot0{,}01 = 144\;\text{Н}. \]Полторы сотни ньютонов — около 15 кгс на одну струну. У шестиструнной гитары в сумме получается заметная нагрузка на грифе, отчего его и делают с анкерным стержнем.
Проверка. Размерность:
\(\text{м}^2\text{с}^{-2}(\text{кг/м}) = \text{Н}\) ✓. Скорость волны
\(c = 2l\nu = 120\) м/с ✓ — намного меньше скорости звука в воздухе, поэтому длина
волны на струне (1,2 м) и в воздухе (3,3 м) сильно различаются, а частота одна ✓.
Зависимости правильные: чтобы поднять тон вдвое, натяжение надо увеличить вчетверо ✓ —
отсюда и «нелинейность» колковой настройки; толстая струна при том же натяжении звучит
ниже ✓. Проверим предел: при \(F\to0\) частота стремится к нулю ✓ — расслабленная струна
не звучит.
Ответ
\( F = 4l^{2}\nu^{2}\mu = 144 \) Н.