Колебания в струне возбуждают, пропуская по ней переменный ток так, что магнитная сила
со стороны небольшого магнита \(M\) меняется гармонически. Частота тока отвечает третьей
гармонике струны. Длина струны \(l\). Где нужно поместить магнит, чтобы амплитуда
колебаний была наибольшей?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сила «раскачивает» колебание тем сильнее, чем больше работа, которую она совершает, то есть
чем быстрее движется точка её приложения. Значит магнит надо ставить у пучности
смещения — там, где струна ходит с максимальным размахом. В узле сила не совершала бы
работы вовсе.
Третья гармоника: три пучности (в \(l/6\), \(l/2\), \(5l/6\)) и два
внутренних узла (в \(l/3\) и \(2l/3\)). Магнит ставят у пучности.
Третья гармоника. На струне укладываются три полуволны, \(\lambda = 2l/3\).
Смещение меняется как \(\sin(3\pi x/l)\), поэтому
\[ \text{узлы:}\quad x = 0,\;\frac{l}{3},\;\frac{2l}{3},\;l, \]
\[ \text{пучности:}\quad x = \frac{l}{6},\;\frac{l}{2},\;\frac{5l}{6}. \]
Ответ. Магнит ставят у любой из пучностей — на расстоянии \(l/6\), \(l/2\) или
\(5l/6\) от конца струны. Ближайшая к краю — \(l/6\); на практике магнит и ставят там,
чтобы не мешать смычку или медиатору.
Проверка. Мощность, передаваемая силой, равна \(\overline{Fv}\)
и максимальна в пучности скорости, которая для стоячей волны совпадает с пучностью
смещения ✓. В узле (\(l/3\) или \(2l/3\)) сила не возбуждала бы третью гармонику
совсем ✓ — зато возбудила бы другие моды, у которых там пучность. Симметрия: точки
\(l/6\) и \(5l/6\) равноправны ✓. Обратная задача — о гашении колебаний прикосновением —
решается тем же соображением наоборот ✓ (задача 3.9.23).
Замечание по задачнику: там указано «\(l/6\) или \(l/3\)», но \(l/3\) — это
как раз узел третьей гармоники; должно быть \(l/2\) ✓ (или \(5l/6\)).
Ответ
У пучностей смещения: на расстоянии \(l/6\), \(l/2\) или \(5l/6\) от конца струны.