Определите массу тела, связанного через упругую подставку жёсткости \(k\) и массы
\(m\) с жёстким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы
равна \(\omega\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Подставка — не невесомая пружина, а стержень с распределённой массой: в ней стоит
настоящая стоячая волна. Внизу она приклеена к полу (узел смещения), сверху нагружена
массой \(M\). Второй закон Ньютона для \(M\) и даёт уравнение на \(M\).
Тело массы \(M\) на упругой подставке жёсткости \(k\) и массы \(m\).
Если бы подставка была невесомой, частота была бы просто \(\sqrt{k/M}\) — но её
собственная инерция всё меняет.
Что известно про подставку. Пусть её длина \(L\) и сечение \(S\). Тогда
\[ k = \frac{ES}{L},\qquad m = \rho S L,
\qquad
c = \sqrt{\frac{E}{\rho}} = L\sqrt{\frac{k}{m}}. \]
Стоячая волна в подставке. Отсчитаем \(x\) от пола; там смещение равно нулю,
значит
\[ \xi(x) = A\,\sin\frac{\omega x}{c}. \]
Условие на верхнем торце. Сила, с которой подставка действует на тело, равна
\(-ES\,\xi'(L)\), а ускорение тела \(-\omega^{2}\xi(L)\). Второй закон Ньютона:
Проверка невесомой подставкой. Пусть \(m \to 0\). Тогда
\(\omega\sqrt{m/k}\) мало и \(\operatorname{ctg}z \approx 1/z - z/3\):
\[ M \approx \frac{\sqrt{mk}}{\omega}\left(\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{k}{m}}
- \frac{\omega}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}\right)
= \frac{k}{\omega^{2}} - \frac{m}{3}. \]
Первое слагаемое — обычная формула \(\omega = \sqrt{k/M}\) ✓; второе — знаменитая
поправка: подставка добавляет к колеблющейся массе треть своей ✓. Это классический
результат для пружины с учётом её массы, и он получился сам, как предельный случай.
Ещё проверки. Размерность: \([\sqrt{mk}/\omega] =
\sqrt{\text{кг}\cdot\text{Н/м}}\cdot\text{с} = \text{кг}\) ✓. При
\(\omega\sqrt{m/k} \to \pi/2\) котангенс обращается в нуль, то есть \(M \to 0\) ✓ —
это собственное колебание самой подставки со свободным верхним концом
(\(L = \lambda/4\)), никакого груза не нужно. При больших \(\omega\) котангенс
периодически меняет знак — это уже высшие моды, и «первая резонансная частота» отвечает
первой ветви, где \(\omega\sqrt{m/k} < \pi/2\) ✓, там \(M>0\).
Ответ
\( M = \dfrac{\sqrt{mk}}{\omega}\operatorname{ctg}\!\left(\omega\sqrt{m/k}\right) \);
при \(m \ll M\) это даёт \( M \approx k/\omega^{2} - m/3 \).