Савченко · Глава 3. Колебания и волны · § 3.9. Звук. Акустические резонаторы

Савченко, задача 3.9.3

Задача 3.9.3◇ две пластины

Условие

Интенсивность звуковой волны частоты \(\nu\), прошедшей через две тонкие параллельные пластины, раздвинутые на расстояние \(l\), достигает максимума на расстоянии от второй пластины, кратном \(l\). Объясните это явление и определите скорость звука в среде, в которой находятся пластины.

К задаче 3.9.3 (рисунок из условия, перерисован)

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Промежуток между пластинами — резонатор. Волна многократно отражается в нём туда и обратно, и все эти «переотражённые» порции складываются в фазе тогда, когда на расстоянии между пластинами укладывается целое число полуволн. Тогда пластины «просветляются», и прошедшая интенсивность максимальна.

Промежуток между пластинами — резонатор: волна многократно отражается в нём туда и обратно.

Условие резонансного прохождения. Каждый лишний пробег между пластинами добавляет к пути \(2l\). Складываться в фазе все переотражённые волны будут при

\[ 2l = n\lambda \quad\Longleftrightarrow\quad l = n\,\frac{\lambda}{2}, \]

то есть когда между пластинами умещается целое число полуволн. Это в точности результат задачи 3.8.18: слой полуволновой толщины полностью прозрачен.

Что даёт условие задачи. По условию максимумы идут через промежутки, кратные \(l\), то есть первый из них наступает как раз при расстоянии \(l\). Значит на \(l\) укладывается ровно одна полуволна:

\[ l = \frac{\lambda}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 2l \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;c = \lambda\nu = 2l\nu\;} \]

Проверка. Размерность: м·с\(^{-1}\) = м/с ✓. Между максимумами расстояние \(\lambda/2 = l\) ✓ — ровно то, что наблюдается. Это стандартный лабораторный способ измерить скорость звука: раздвигают пластины (или двигают отражатель) и считают максимумы ✓. Минимумы прохождения при этом попадают на \(l = (2n+1)\lambda/4\) ✓ (задача 3.8.19). Если бы пластины были «согласованы» со средой, никаких максимумов и минимумов не было бы вовсе ✓ — эффект целиком держится на отражении от них.

Ответ Между пластинами возникает резонансное (многолучевое) прохождение при \(l = n\lambda/2\); поскольку максимумы идут через \(l\), то \(\lambda = 2l\) и \( c = 2l\nu \).

Примечание. В «Ответах» книги напечатано \(c = 2l/\nu\), по-видимому, опечатка: такая запись не проходит по размерности (получились бы м\(\cdot\)с, а не м/с). Из \(\lambda = 2l\) следует именно \(c = \lambda\nu = 2l\nu\).

Следующая задача 3.9.4 →