Задача 3.9.7«дышащий» шарик
Условие
Шарик радиуса \(R\) совершает гармонические радиальные колебания («дышит») с частотой \(\omega\) и амплитудой \(A\) в жидкости, плотность которой \(\rho\). С какой в среднем за период энергией излучается волна? Как меняется амплитуда колебаний давления жидкости по мере удаления от шарика, если скорость волны в жидкости равна \(c\)? Считать \(A \ll R\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
У самой поверхности шарика жидкость движется вместе с ней, со скоростью амплитуды
\(\omega A\). Значит там известна интенсивность волны; умножив её на площадь сферы,
получим излучаемую мощность. Дальше энергия просто растекается по всё большей сфере.
Интенсивность у поверхности. Амплитуда скорости \(v_0 = \omega A\), поэтому
\[ I = \frac{\rho c\,v_0^{2}}{2} = \frac{\rho c\,\omega^{2}A^{2}}{2}. \]Мощность. Умножаем на площадь сферы \(4\pi R^{2}\):
\[ N = 4\pi R^{2}\cdot\frac{\rho c\,\omega^{2}A^{2}}{2} = 2\pi R^{2}\rho\,c\,\omega^{2}A^{2}. \]Как убывает давление. Через любую сферу радиуса \(r\) проходит та же мощность \(N\), а площадь растёт как \(r^{2}\), значит
\[ I(r) = \frac{N}{4\pi r^{2}} \propto \frac{1}{r^{2}}, \]а поскольку \(I \propto P^{2}\),
\[ P(r) \propto \frac{1}{r} \]— амплитуда давления обратно пропорциональна расстоянию от центра шарика.
Проверка. Размерность:
\([R^2\rho c\omega^2A^2] = \text{м}^2(\text{кг/м}^3)(\text{м/с})(\text{с}^{-2})\text{м}^2
= \text{Вт}\) ✓. Мощность растёт как \(\omega^{2}\) — высокие частоты излучаются
несравненно лучше ✓, это общее правило акустики. Убывание \(P \propto 1/r\) (а не
\(1/r^2\)) — стандартное для сферической волны ✓: как \(1/r^2\) убывает интенсивность,
а не амплитуда. Условие \(A \ll R\) нужно, чтобы поверхность можно было считать
неподвижной сферой ✓. Пульсирующий шарик — единственный «монопольный» излучатель; он
работает куда эффективнее пластинки из задачи 3.9.6, потому что не имеет обратной
стороны ✓.
Ответ
\( N = 2\pi R^{2}\rho c\,\omega^{2}A^{2} \); амплитуда давления убывает как
\(1/r\).