а. На бесконечный стержень в некотором сечении действует внешняя продольная сила \(F = F_0\cos\omega t\). Какие волны скорости и деформации возникают в стержне? Сечение стержня \(S\), плотность его материала \(\rho\), скорость волны в стержне \(c\).
б. В двух сечениях бесконечного стержня, расположенных на расстоянии \(l\) друг от друга, действует продольная внешняя сила \(F = F_0\cos\omega t\). Какие волны возникают в стержне? При каких значениях \(l\) мощность волны в стержне наибольшая? наименьшая? Почему энергия результирующей волны в стержне не равна сумме энергий волн, испускаемых каждым источником в отдельности?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Одна сила. По симметрии вправо и влево уходит по половине силы, поэтому напряжение в каждой волне \(\sigma = F_0/(2S)\), а скорость частиц \(u = \sigma/(\rho c)\):
\[ u = \frac{F_0}{2S\rho c}\,\cos\omega\!\left(t \mp \frac{x}{c}\right), \qquad \varepsilon = \mp\frac{u}{c} \](верхний знак — для волны, бегущей вправо, \(x\) отсчитывается от источника).
б. Две силы. Пусть источники стоят в точках \(\pm l/2\), а \(x\) отсчитывается от середины. Складывая две пары волн, получаем:
Между источниками волны бегут навстречу и дают стоячую волну:
\[ u = \frac{F_0}{S\rho c}\, \cos\omega\!\left(t-\frac{l}{2c}\right)\cos\frac{\omega x}{c}. \]Снаружи обе волны бегут в одну сторону и складываются в бегущую:
\[ u = \frac{F_0}{S\rho c}\,\cos\frac{\omega l}{2c}\; \cos\omega\!\left(t-\frac{x}{c}\right). \]Максимум и минимум. Амплитуда наружной волны пропорциональна \(|\cos(\omega l/2c)| = |\cos(\pi l/\lambda)|\), поэтому
\[ \text{максимум:}\quad \frac{\pi l}{\lambda} = \pi n \;\Longleftrightarrow\; l = n\lambda \;\;(\textbf{чётное число полуволн}), \] \[ \text{минимум (нуль):}\quad l = \left(n+\tfrac12\right)\lambda \;\;(\textbf{нечётное число полуволн}). \]Во втором случае наружу не уходит ничего: вся энергия заперта в стоячей волне между источниками.
Почему энергии не складываются. Потому что складываются амплитуды, а энергия квадратична. При синфазном сложении амплитуда удваивается, и мощность вырастает вчетверо, а не вдвое; при противофазном — обращается в нуль. Физически: каждая сила работает не только «против» своей волны, но и против поля, созданного соседом. В одном случае сосед помогает ей совершать работу, в другом — мешает, вплоть до того, что сила вообще перестаёт совершать работу.