В двух сечениях бесконечного стержня действуют две внешние продольные силы. Сила с левой стороны меняется по закону \(F_1 = F_0\cos\omega t\), а сила с правой — по закону \(F_2 = F_0\sin\omega t\). При каком расстоянии \(l\) между источниками силы бегущая волна будет распространяться только слева направо? только справа налево?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Считаем в одну сторону. Пусть источник 1 в точке \(0\), источник 2 в точке \(l\), \(k = \omega/c\). Справа от обоих (при \(x > l\)) с точностью до общего множителя
\[ u_{\text{впр}} \propto \cos(\omega t - kx) + \sin\bigl(\omega t - k(x-l)\bigr). \]Обозначив \(\theta = \omega t - kx\) и раскрыв синус суммы,
\[ u_{\text{впр}} \propto \cos\theta\,(1+\sin kl) + \sin\theta\,\cos kl, \] \[ A_{\text{впр}}^{2} \propto (1+\sin kl)^{2}+\cos^{2}kl = 2\,(1+\sin kl). \]И в другую. Слева от обоих (при \(x < 0\)) точно так же получается
\[ A_{\text{влев}}^{2} \propto 2\,(1-\sin kl). \]Выводы. Волна идёт только вправо, когда гаснет левая, то есть \(\sin kl = 1\):
\[ kl = \frac{\pi}{2}+2\pi n \quad\Longrightarrow\quad l = \left(\frac14 + n\right)\lambda. \]Волна идёт только влево, когда \(\sin kl = -1\):
\[ l = \left(\frac34 + n\right)\lambda, \qquad \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}. \]Почему так. Пусть \(l = \lambda/4\). Вправо: волна от первого источника приходит ко второму, запоздав на четверть периода, — и как раз попадает в фазу с волной второго (тот отстаёт по фазе на \(\pi/2\)). Они складываются. Влево: волна от второго источника приходит к первому, тоже запоздав на четверть периода, но теперь запаздывание прибавляется к его собственному отставанию — суммарно полпериода, противофаза, гашение.