Задача 4.1.10гидравлический пресс
Условие
Гидравлический пресс, заполненный водой, имеет поршни, сечение которых 100 и 10 см\(^2\). На больший поршень ставят груз массы 80 кг. На какую высоту поднимется после этого малый поршень?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Груз создаёт избыточное давление, и малый поршень будет подниматься, пока его не
остановит вес поднятого столба воды. Тонкость в том, что уровни движутся навстречу:
малый поршень идёт вверх, большой опускается, и в разность высот входят оба смещения.
Избыточное давление. Груз \(m\) на большом поршне площади \(S_1\) даёт
\[ \Delta P = \frac{mg}{S_1}. \]Геометрия. Пусть малый поршень поднялся на \(h\). Вытесненный им объём \(S_2h\) приходит из-под большого, и тот опускается на
\[ \Delta = \frac{S_2}{S_1}\,h. \]Разность уровней поршней стала
\[ H = h + \Delta = h\left(1+\frac{S_2}{S_1}\right). \]Равновесие. Перепад давлений уравновешивается столбом воды высоты \(H\):
\[ \frac{mg}{S_1} = \rho g H = \rho g h\left(1+\frac{S_2}{S_1}\right), \] \[ h = \frac{m}{\rho\,S_1\left(1+S_2/S_1\right)} = \frac{m}{\rho\,(S_1+S_2)}. \]Числа. \(S_1 = 10^{-2}\) м\(^2\), \(S_2 = 10^{-3}\) м\(^2\), \(m = 80\) кг:
\[ h = \frac{80}{10^{3}\cdot1{,}1\cdot10^{-2}} = \frac{80}{11} \approx 7{,}3\;\text{м} = 727\;\text{см}. \]Проверка. Если бы мы забыли про опускание большого поршня, вышло
бы \(h = m/(\rho S_1) = 8\) м — на 10 % больше ✓; поправка как раз равна
\(S_2/S_1 = 0{,}1\). Формула красиво симметрична: \(h = m/[\rho(S_1+S_2)]\) ✓ — «работает»
сумма площадей. Предельный случай \(S_2 \to 0\): тонкая трубочка поднимается на
\(m/(\rho S_1)\) ✓. Размерность: кг/((кг/м\(^3\))·м\(^2\)) = м ✓. Заметим, что
ускорение свободного падения сократилось ✓ — на Луне высота была бы той же.
Ответ
\( h = \dfrac{m}{\rho\,(S_1+S_2)} \approx 7{,}3 \) м \(= 727\) см.