Три сообщающихся сосуда с водой прикрыты поршнями. К поршням шарнирно прикреплена на вертикальных стержнях горизонтальная палка. В каком месте нужно приложить к палке силу \(F\), чтобы она осталась горизонтальной? Диаметры сосудов и расстояния между ними указаны на рисунке.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Силы на поршни. Пусть избыточное давление под поршнями равно \(p\). Тогда снизу вверх на \(i\)-й поршень действует
\[ F_i = p\,\frac{\pi d_i^{2}}{4}, \]то есть \(F_i \propto d_i^{2}\).
Условие горизонтальности. Палка невесома и держится на трёх стержнях; чтобы она не поворачивалась, момент всех сил относительно любой точки должен быть нулём. Отсюда точка приложения \(F\) — это «центр» распределения сил:
\[ x_F = \frac{\sum d_i^{2}x_i}{\sum d_i^{2}}. \]Числа. Поместим начало отсчёта в средний сосуд; крайние стоят в \(-a\) и \(+a\):
\[ x_F = \frac{-a\,d_1^{2} + 0\cdot d_2^{2} + a\,d_3^{2}}{d_1^{2}+d_2^{2}+d_3^{2}} = -\,\frac{d_1^{2}-d_3^{2}}{d_1^{2}+d_2^{2}+d_3^{2}}\,a. \]Значит силу надо прикладывать на расстоянии
\[ \boxed{\;l = \frac{d_1^{2}-d_3^{2}}{d_1^{2}+d_2^{2}+d_3^{2}}\;a\;} \]влево от середины палки (то есть в сторону более широкого сосуда). Полная сила при этом равна \(F = \dfrac{\pi p}{4}\bigl(d_1^{2}+d_2^{2}+d_3^{2}\bigr)\).