Нижняя грань правильного тетраэдра с ребром \(a\), полностью погружённого в жидкость
плотности \(\rho\), находится на глубине \(h\). Определите силу, действующую со стороны
жидкости на боковую грань тетраэдра, если атмосферное давление равно \(P\).
К задаче 4.1.12 (рисунок из условия, перерисован): правильный тетраэдр с ребром
\(a\) целиком в жидкости; его горизонтальная нижняя грань — на глубине \(h\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Для плоской грани всё просто: сила равна давлению в центре тяжести грани, умноженному
на её площадь, и направлена по нормали. Значит надо найти глубину центра боковой грани.
Геометрия. Площадь грани
\[ S = \frac{\sqrt3}{4}a^{2}, \]
высота тетраэдра
\[ H = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt6}{3}. \]
Боковая грань опирается на ребро нижней грани и упирается в вершину. Её центр тяжести —
среднее трёх вершин, две из которых лежат на нижней грани (глубина \(h\)), а третья — на
вершине (глубина \(h-H\)). Значит
\[ h_{\text{ц}} = \frac{h+h+(h-H)}{3} = h - \frac{H}{3}
= h - \frac{a\sqrt6}{9}. \]
Сила.
\[ F = \Bigl(P + \rho g\,h_{\text{ц}}\Bigr)S
= \Bigl(P+\rho g h - \rho g\frac{a\sqrt6}{9}\Bigr)\frac{\sqrt3\,a^{2}}{4}. \]
Раскроем и сгруппируем, заметив, что \(\sqrt3\cdot\sqrt6 = 3\sqrt2\):
Направлена сила по нормали к грани, внутрь тетраэдра.
Проверка. Размерность: Па·м\(^2\) = Н ✓. При \(a \to 0\)
остаётся только «атмосферный» член ✓. Проверим знак поправки: центр боковой грани лежит
выше нижней грани, значит давление там меньше, и поправка отрицательна ✓ — так и
есть (\(-\sqrt2 a\)). Проверим по-другому: сумма нормальных сил на все четыре грани
должна давать архимедову силу \(\rho g V\) с \(V = a^{3}/(6\sqrt2)\); подстановка
сходится ✓. Приём «давление в центре тяжести грани» работает только для плоских
граней ✓ — для кривой поверхности надо считать проекции (задачи 4.1.5–4.1.6).
Ответ
\( F = \dfrac{\sqrt3}{4}Pa^{2} + \dfrac{1}{12}\rho g a^{2}\bigl(3\sqrt3\,h-\sqrt2\,a\bigr) \),
по нормали к грани.