В сосуде, дно которого образует угол \(\alpha\) с горизонтом, стоит куб с ребром \(a\), сделанный из материала плотности \(\rho\). Верхнее ребро куба находится на глубине \(h\). Жидкость под основание куба не подтекает. Атмосферное давление \(P\), плотность жидкости \(\rho_0\). Найдите силу, с которой куб действует на дно сосуда.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Силы на куб. Их четыре: вес \(\rho a^{3}g\) вниз; давление жидкости и воздуха на пять смоченных граней; нормальная реакция дна \(N\); сила трения \(f\) вдоль дна.
Пять граней = шесть минус одна. Если бы куб был смочен со всех сторон, суммарная сила была бы архимедовой: \(\rho_0 a^{3}g\) вертикально вверх. Сила на основание (если бы оно было смочено) равна \(P_{\text{ц}}a^{2}\) по нормали к дну, где \(P_{\text{ц}}\) — давление на глубине центра основания. Значит
\[ \vec F_{5} = \rho_0 a^{3}g\,\hat z_{\uparrow} - P_{\text{ц}}a^{2}\,\hat n, \]где \(\hat n\) — нормаль к дну, направленная от дна вверх.
Глубина центра основания. Верхнее ребро куба — самая мелкая его точка, на глубине \(h\). Спускаясь от него к центру основания, мы уходим вниз на \(a\cos\alpha\) (толщина куба по нормали к дну) и ещё на \(\tfrac{a}{2}\sin\alpha\) (полребра вдоль склона):
\[ h_{\text{ц}} = h + a\cos\alpha + \frac{a}{2}\sin\alpha, \qquad P_{\text{ц}} = P + \rho_0 g\,h_{\text{ц}}. \]Вдоль дна. Вес даёт \(\rho a^{3}g\sin\alpha\) вниз по склону, архимедова сила — \(\rho_0a^{3}g\sin\alpha\) вверх, давление на основание вклада не даёт (оно по нормали). Значит трение
\[ F_{\parallel} = a^{3}\bigl(\rho-\rho_0\bigr)g\sin\alpha. \]По нормали к дну.
\[ F_{\perp} = \rho a^{3}g\cos\alpha - \rho_0a^{3}g\cos\alpha + P_{\text{ц}}a^{2}, \]и, подставив \(P_{\text{ц}}\), два члена с \(\cos\alpha\) частично сокращаются:
\[ \boxed{\;F_{\perp} = a^{3}\rho_0 g\left(\frac{\rho}{\rho_0}\cos\alpha + \frac12\sin\alpha + \frac{h}{a}\right) + P a^{2}\;} \]По третьему закону Ньютона с такими же силами куб действует на дно.