Трубка радиуса \(r\) закрыта снизу металлическим диском и погружена в жидкость на глубину \(H\). Радиус диска \(R\), высота \(h\). Ось диска отстоит от оси трубки на расстояние \(a\). Плотность жидкости \(\rho_0\), плотность металла \(\rho\). До какой высоты нужно наливать жидкость в трубку, чтобы диск оторвался от трубки?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Силы на диск. Пусть уровень в трубке — \(x\) ниже наружного уровня (то есть на глубине \(x\) от поверхности снаружи). Обозначим \(P_0\) — атмосферное давление.
— снизу жидкость давит вверх: \(U_1 = [P_0+\rho_0g(H+h)]\pi R^{2}\), приложена в
центре диска \(C\);
— вес диска вниз: \(D_1 = \rho g\pi R^{2}h\), тоже в \(C\);
— жидкость в трубке давит на верх диска: \(D_2 = [P_0+\rho_0 g x]\pi r^{2}\), приложена
в центре трубки \(O\);
— наружная жидкость давит на кольцевую часть верха:
\(D_3 = [P_0+\rho_0gH]\pi(R^{2}-r^{2})\).
Равнодействующая. Суммарная вертикальная сила (вверх)
\[ U = \pi R^{2}gh(\rho_0-\rho) + \pi r^{2}\rho_0 g\,(H-x), \]а её момент относительно оси трубки (все \(P_0\)-члены и «кольцевые» вклады сокращаются) равен
\[ M = a\,\pi R^{2}gh\,(\rho_0-\rho). \]Условие отрыва. Кольцо-торец может только давить на диск сверху вниз, причём лишь по окружности радиуса \(r\). Диск удерживается, пока линия действия равнодействующей проходит внутри этого кольца:
\[ |M| \le U\,r. \]Как только \(|M| = Ur\), диск начинает перекашиваться и отрывается. Подставим:
\[ \pi R^{2}gh(\rho-\rho_0)\,a = r\left[\pi R^{2}gh(\rho_0-\rho) + \pi r^{2}\rho_0 g(H-x)\right] \cdot(-1)\;\Rightarrow \] \[ \pi r^{2}\rho_0(H-x) = R^{2}h(\rho-\rho_0)\left(1+\frac{a}{r}\right)\pi/\pi, \]откуда
\[ \boxed{\;x = H - \frac{R^{2}}{r^{2}}\left(1+\frac{a}{r}\right) \left(\frac{\rho}{\rho_0}-1\right)h\;} \]