В верхней части сосуда с водой имеется цилиндрическое отверстие, плотно закрытое
подвижным поршнем. В поршень вделана вертикальная трубка. Радиус поршня 10 см, радиус
трубки 5 см, масса поршня вместе с трубкой 20 кг. Определите высоту столба воды в трубке
при равновесии системы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Рассмотрим равновесие «поршень + трубка» как одного тела. Вода в вертикальной трубке
давит на её стенки только вбок — вертикального вклада не даёт. Значит поршень держится
избыточным давлением снизу, а оно как раз и создаётся столбом воды в трубке.
Поршень с вделанной в него трубкой закрывает отверстие в верхней стенке;
вода поднимается в трубке на высоту \(h\) над поршнем.
Давление под поршнем. Вода в сосуде сообщается с водой в трубке, значит на
уровне поршня
\[ P_{\text{низ}} = P_0 + \rho g h, \]
где \(h\) — высота столба в трубке над поршнем.
Баланс сил. Снизу вода давит на кольцевую часть поршня площадью
\(S_{\text{п}}-S_{\text{т}}\); сверху на ту же площадь давит атмосфера. Разность
и держит вес:
\[ \bigl(P_{\text{низ}}-P_0\bigr)\bigl(S_{\text{п}}-S_{\text{т}}\bigr) = Mg, \]
\[ \rho g h\,\bigl(S_{\text{п}}-S_{\text{т}}\bigr) = Mg
\quad\Longrightarrow\quad
h = \frac{M}{\rho\,\bigl(S_{\text{п}}-S_{\text{т}}\bigr)}. \]
Проверка. \(g\) сократилось ✓ — высота столба от него не
зависит. Вода в трубке своим весом на поршень не давит: трубка вертикальная и постоянного
сечения, поэтому все силы от воды на её стенки горизонтальны ✓ — это тонкий, но важный
момент («гидростатический парадокс»). Если бы трубка была шире поршня, равновесие стало бы
невозможным ✓ — знаменатель обратился бы в нуль. Проверим предел \(r\to0\):
\(h = M/(\rho S_{\text{п}}) = 0{,}64\) м ✓ — меньше, ведь работает вся площадь поршня.
Размерность: кг/((кг/м\(^3\))м\(^2\)) = м ✓.
Ответ
\( h = \dfrac{M}{\rho\,(S_{\text{п}}-S_{\text{т}})} \approx 0{,}85 \) м = 85 см.