Поршень, перекрывающий цилиндрическую трубку внутреннего радиуса 10 см, может перемещаться с помощью длинного вертикального штока. Трубка с поршнем, занимающим крайнее нижнее положение, опущена в цилиндрический сосуд радиуса 1 м на глубину 0,5 м. На какую высоту от первоначального уровня воды в сосуде можно поднять воду в трубке? Атмосферное давление \(10^{5}\) Па.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Барометрический предел.
\[ H_{\max} = \frac{P_0}{\rho g} = \frac{10^{5}}{10^{3}\cdot9{,}8} \approx 10{,}2\;\text{м}. \]Столб такой высоты, отсчитанный от уровня воды в сосуде, — потолок для любого насоса.
Уровень в сосуде опускается. Пусть вода в трубке поднялась на \(h\) выше первоначального уровня, а уровень в сосуде опустился на \(\Delta\). Тогда высота столба над текущим уровнем равна \(h+\Delta\), и
\[ h + \Delta = H_{\max}. \]Баланс объёмов. Вода, ушедшая из сосуда (кольцо площадью \(S_{\text{с}}-S_{\text{т}}\), опустившееся на \(\Delta\)), поднялась в трубку выше текущего уровня:
\[ S_{\text{т}}\,(h+\Delta) = \bigl(S_{\text{с}}-S_{\text{т}}\bigr)\Delta. \]С \(S_{\text{т}} = \pi\cdot0{,}1^{2}\) и \(S_{\text{с}} = \pi\cdot1^{2}\) отношение площадей равно 100, поэтому
\[ h+\Delta = 99\,\Delta \quad\Longrightarrow\quad \Delta = \frac{H_{\max}}{99} \approx 0{,}10\;\text{м}. \]Ответ.
\[ h = H_{\max} - \Delta \approx 10{,}2 - 0{,}1 = 10{,}1\;\text{м}. \]