В полусферический колокол, края которого плотно прилегают к поверхности стола, наливают через отверстие вверху жидкость. Когда жидкость доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает из-под него течь. Найдите массу колокола, если его внутренний радиус равен \(R\), а плотность жидкости \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Правило вертикальной силы. Для криволинейной поверхности вертикальная составляющая силы давления равна весу жидкости в «столбе» над этой поверхностью, считая до уровня свободной поверхности. У нас жидкость давит на купол изнутри вверх, и соответствующий объём — это то, что не хватает полусфере до цилиндра:
\[ V = \underbrace{\pi R^{2}\cdot R}_{\text{цилиндр}} - \underbrace{\frac{2}{3}\pi R^{3}}_{\text{полусфера}} = \frac{\pi R^{3}}{3}. \]Подъёмная сила.
\[ F = \rho g V = \frac{\pi R^{3}\rho g}{3}. \]Условие подъёма. Колокол приподнимется, когда \(F\) сравняется с его весом:
\[ mg = \frac{\pi R^{3}\rho g}{3} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;m = \frac{\pi R^{3}\rho}{3}\;} \]Гидростатический парадокс. Обратите внимание: жидкости в колоколе всего \(\tfrac23\pi R^{3}\) — вдвое больше, чем «поднимающий» объём. То есть колокол приподнимается весом, вдвое меньшим веса налитой жидкости. Ещё нагляднее: тонкую трубочку в отверстии можно было бы нарастить, и тогда колокол оторвался бы от стола от нескольких граммов дополнительной жидкости — знаменитый опыт Паскаля с бочкой.