Докажите, что в двух сообщающихся сосудах жидкость в поле тяжести имеет минимальную потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах находятся на одной высоте.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Рассуждение. Пусть уровни \(h_1 > h_2\). Возьмём малый объём \(\delta V\) с поверхности первого сосуда (он находится на высоте \(h_1\)) и перенесём его на поверхность второго (высота \(h_2\)). Изменение потенциальной энергии
\[ \Delta U = \rho\,\delta V\,g\,(h_2-h_1) < 0. \]Энергия уменьшилась. Значит любое состояние с \(h_1\ne h_2\) — не минимум: всегда можно сделать «шаг» в сторону меньшей энергии.
Равные уровни — стационарная точка. Если \(h_1 = h_2\), то любой такой перенос даёт \(\Delta U = 0\) в первом порядке. А во втором порядке энергия растёт: перенеся объём \(\delta V\) из первого сосуда (площадь \(S_1\)) во второй (площадь \(S_2\)), мы опустим первый уровень на \(\delta V/S_1\) и поднимем второй на \(\delta V/S_2\), так что
\[ \Delta U = \frac{\rho g}{2}\left(\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}\right)(\delta V)^{2} > 0. \]Значит равные уровни — именно минимум, причём устойчивый.
Связь с давлением. Условие минимума энергии эквивалентно равенству давлений на одном уровне: \(P_0+\rho g h_1 = P_0 + \rho g h_2\). Это общее правило механики — равновесие есть экстремум потенциальной энергии.