В цилиндрическом сосуде радиуса \(R\), частично наполненном жидкостью плотности
\(\rho\), в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно
совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину \(l\)? Пробка имеет вид цилиндра радиуса
\(r\). Центр отверстия находится на глубине \(h\). Сосуд достаточно высок, чтобы
жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Сила на пробку равна избыточному давлению на её площадь. Но по мере вдвигания пробка
вытесняет жидкость, уровень в сосуде поднимается — и давление на пробку растёт.
Значит сила линейно растёт с пройденным путём, и работа считается по средней силе.
Вдвигая пробку, мы вытесняем объём \(\pi r^{2}l\), и уровень в сосуде
поднимается — поэтому давление на пробку по ходу дела растёт.
Сила в начале. Атмосферное давление действует на пробку с обеих сторон и
сокращается, остаётся только избыточное:
\[ F(0) = \rho g h\cdot\pi r^{2}. \]
Как растёт давление. Вдвинув пробку на \(x\), мы вытеснили объём \(\pi r^{2}x\).
Уровень поднялся на
Проверка. При \(R\to\infty\) уровень не поднимается, и
\(A = \pi r^{2}\rho g h l\) ✓ — просто сила на путь. Второе слагаемое всегда
положительно ✓: жидкость сопротивляется тем сильнее, чем дальше мы залезли. Размерность:
м\(^2\cdot\)м\(\cdot\)(кг/м\(^3\))(м/с\(^2\))м = Дж ✓. Энергетическая проверка:
работа должна равняться приросту потенциальной энергии жидкости. Вытесненный объём
\(V=\pi r^{2}l\) поднялся с глубины \(h\) на поверхность, то есть его центр тяжести
поднялся на \(h + \tfrac12(r^2/R^2)l\) ✓ — в точности наш множитель. Формулы сошлись ✓.
Ответ
\( A = \pi r^{2}\Bigl(h+\dfrac{1}{2}\dfrac{r^{2}}{R^{2}}l\Bigr)\rho g l \).