Найдите давление на расстоянии \(r\) от центра жидкой планеты радиуса \(R\), если жидкость имеет плотность \(\rho\). Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная \(\gamma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле внутри планеты. На расстоянии \(s\) от центра притягивает только шар радиуса \(s\) массой \(M(s) = \tfrac43\pi s^{3}\rho\), поэтому
\[ g(s) = \frac{\gamma M(s)}{s^{2}} = \frac{4}{3}\pi\gamma\rho\,s. \]Набираем давление. Возьмём тонкий столбик сечения \(S\) между \(s\) и \(s+\Delta s\). Его вес \(\rho S\Delta s\cdot g(s)\) должен держаться разностью давлений снизу и сверху:
\[ \Delta P = -\rho\,g(s)\,\Delta s = -\frac{4}{3}\pi\gamma\rho^{2}\,s\,\Delta s. \]Складывая от \(r\) до \(R\) (на поверхности давление нуль) и пользуясь тем, что сумма \(s\,\Delta s\) даёт \(\tfrac12(R^{2}-r^{2})\):
\[ \boxed{\;P(r) = \frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr)\;} \]В центре.
\[ P_0 = \frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}. \]Числа для Земли. \(\rho \approx 5{,}5\cdot10^{3}\) кг/м\(^3\), \(R = 6{,}4\cdot10^{6}\) м:
\[ P_0 \approx \frac{2}{3}\pi\cdot6{,}7\cdot10^{-11}\cdot3\cdot10^{7}\cdot4\cdot10^{13} \approx 1{,}7\cdot10^{11}\;\text{Па} \approx 1{,}7\;\text{млн атм}. \]