Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.1. Давление жидкости

Савченко, задача 4.1.2

Задача 4.1.2◇ призма в жидкости

Условие

В жидкости находится прямоугольная призма, размеры которой показаны на рисунке. Найдите сумму сил, действующих на переднюю и нижнюю грани призмы, если давление жидкости равно \(2\cdot10^{5}\) Па. Чему равна сумма сил, действующих на призму?

К задаче 4.1.2 (рисунок из условия, перерисован). Призма в жидкости: передняя грань вертикальна, нижняя горизонтальна, все три размера по 10 см.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Давление одинаково всюду (перепадом из-за глубины пренебрегаем), поэтому сила на каждую плоскую грань равна \(PS\) и направлена по нормали к ней. Складывать эти силы надо векторно. А для всей призмы ответ известен заранее: при одинаковом давлении сумма сил по замкнутой поверхности равна нулю.

Передняя и нижняя грани — квадраты \(10\times10\) см; давление всюду одно и то же, поэтому силы на них равны по модулю, но взаимно перпендикулярны.

Силы на две грани. Передняя и нижняя грани — квадраты \(10\times10\) см, то есть \(S = 10^{-2}\) м\(^2\) каждая. Значит

\[ F_{\text{пер}} = F_{\text{ниж}} = PS = 2\cdot10^{5}\cdot10^{-2} = 2\cdot10^{3}\;\text{Н}. \]

Одна из них горизонтальна, другая вертикальна — они перпендикулярны друг другу, поэтому

\[ F_1 = \sqrt{F_{\text{пер}}^{2}+F_{\text{ниж}}^{2}} = 2000\sqrt2 \approx 2{,}8\cdot10^{3}\;\text{Н}. \]

Сила на всю призму. Давление одинаково по всей поверхности, а сумма \(\sum \vec n_i S_i\) по замкнутой поверхности равна нулю (это верно для любого многогранника: «векторные площади» граней замыкаются). Значит

\[ F_2 = 0. \]

Физически это очевидно: если бы жидкость с одинаковым давлением толкала тело куда-то, оно бы самопроизвольно поехало.

Проверка. Проверим замыкание векторных площадей на нашей призме: вертикальная задняя грань \(10\times10\) даёт \(2000\) Н в одну сторону, наклонная грань площадью \(10\sqrt2\times10\) даёт \(2000\sqrt2\) Н по своей нормали, а её проекции — как раз \(2000\) Н по горизонтали и \(2000\) Н по вертикали, гасящие вклады задней и нижней граней ✓; два треугольных торца дают равные и противоположные силы ✓. Итог нулевой ✓. Полезно запомнить оба вывода: сила на грань — это \(PS\) по нормали, а сумма по замкнутой поверхности при однородном давлении — нуль ✓; последнее и есть причина того, что в законе Архимеда работает только перепад давления.

Ответ \( F_1 = 2000\sqrt2 \approx 2{,}8 \) кН; \( F_2 = 0 \).

Следующая задача 4.1.3 →