Условие
Результирующая сила, действующая со стороны сжатой жидкости на три грани правильного тетраэдра, равна \(F\). Длина ребра тетраэдра \(a\). Определите давление жидкости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Считать силу на три наклонные грани по отдельности не нужно. Сумма сил на все четыре грани
равна нулю (задача 4.1.2), значит сила на три грани равна по модулю силе на четвёртую — а
та считается в одну строчку.
Выкладка.
\[ \vec F_{1}+\vec F_{2}+\vec F_{3}+\vec F_{4} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|\vec F_{1}+\vec F_{2}+\vec F_{3}\bigr| = \bigl|\vec F_{4}\bigr| = P S_{\text{грани}}. \]Площадь грани правильного тетраэдра — площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\):
\[ S = \frac{\sqrt3}{4}\,a^{2}. \]Отсюда
\[ F = P\,\frac{\sqrt3\,a^{2}}{4} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;P = \frac{4F}{\sqrt3\,a^{2}}\;} \]Проверка. Размерность: Н/м\(^2\) = Па ✓. Приём универсален:
сила на любую часть замкнутой поверхности равна по модулю силе на оставшуюся часть ✓ —
именно так решаются и задачи 4.1.5, 4.1.6. Направлена результирующая по нормали к
четвёртой грани, наружу от неё ✓. Полезно заметить, что форма «недостающей» грани и есть
весь ответ: три грани можно было бы смять как угодно, лишь бы контур остался тем же ✓ —
сила зависит только от контура, потому что давление однородно.
Ответ
\( P = \dfrac{4F}{\sqrt3\,a^{2}} \).