Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.1. Давление жидкости

Савченко, задача 4.1.4

Задача 4.1.4◇ фигурный поршень

Условие

В трубе находится поршень, продольное сечение которого показано на рисунке. Давление жидкости с обеих сторон поршня одинаково. Находится ли поршень в равновесии?

К задаче 4.1.4 (рисунок из условия, перерисован): продольное сечение поршня в трубе — правый торец плоский, левый срезан наискось; давление \(P\) с обеих сторон одинаково.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Как бы причудливо ни была изогнута торцевая поверхность, сила давления на неё зависит только от площади её проекции на плоскость, перпендикулярную трубе. А эта проекция с обеих сторон — одно и то же сечение трубы.

Почему так. Сила на элемент поверхности равна \(P\,\Delta S\) по нормали; её продольная составляющая равна \(P\,\Delta S\cos\theta = P\,\Delta S_{\perp}\), где \(\Delta S_{\perp}\) — площадь проекции элемента на поперечное сечение. Суммируя, получаем

\[ F_{\parallel} = P\,S_{\text{сечения трубы}}, \]

и это не зависит от формы торца — хоть конус, хоть волна, хоть полусфера.

Вывод. Слева и справа действуют одинаковые силы \(PS\), направленные навстречу друг другу. Они уравновешиваются, и поршень находится в равновесии. Никакой «выгодной» формы, при которой одинаковое давление сдвинуло бы поршень, не существует.

Это, по существу, запрет вечного двигателя: если бы фигурный поршень поехал сам собой, можно было бы бесконечно отбирать работу у покоящейся жидкости.

Проверка. Это тот же результат, что и в задачах 4.1.2 и 4.1.3: при однородном давлении сила зависит только от контура поверхности ✓. Плоский поршень — частный случай ✓. Если бы давления различались на \(\Delta P\), возникла бы сила \(\Delta P\,S\), опять же независимая от формы ✓ (задача 4.1.5). Равновесие здесь безразличное — сдвинув поршень, мы ничего не изменим ✓.

Ответ Да. Продольная сила равна \(P\) на площадь сечения трубы независимо от формы торца, и с обеих сторон она одинакова.

Следующая задача 4.1.5 →