Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.1. Давление жидкости

Савченко, задача 4.1.5

Задача 4.1.5◇ шар на отверстии

Условие

Шар перекрывает отверстие радиуса \(r\) в плоской стенке, разделяющей жидкости, давление которых \(3P\) и \(P\). С какой силой прижимается шар к отверстию?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Если бы давление с обеих сторон было одинаковым, шар ничего бы не прижимало (задача 4.1.4). Значит работает только разность давлений, и действует она на площадь «дырки» — круга радиуса \(r\).

а — шар на отверстии радиуса \(r\) между жидкостями с давлениями \(3P\) и \(P\); б — коническая пробка сразу в двух отверстиях радиусов \(r\) и \(R\).

Считаем. Мысленно уменьшим давление всюду на \(P\) — от этого силы, действующие на шар, изменятся на силу однородного давления \(P\) по замкнутой поверхности, то есть на нуль. Остаётся: сверху давление \(2P\), снизу нуль.

Сила от давления \(2P\) на верхнюю (открытую этому давлению) часть шара по вертикали равна \(2P\) на площадь проекции этой части. Но у сферической шапки, ограниченной окружностью радиуса \(r\), проекция — это круг радиуса \(r\). Значит

\[ F = 2P\cdot\pi r^{2} = 2\pi r^{2}P. \]

Что важно. Радиус самого шара в ответ не входит — только радиус отверстия. Огромный шар и маленький прижимаются одинаково, если дырка одна и та же.

Проверка. Размерность: Па·м\(^2\) = Н ✓. При равных давлениях сила равна нулю ✓ (задача 4.1.4). Направление — от области высокого давления к области низкого ✓, то есть шар вдавливается в отверстие, чем и обеспечивается герметичность — это принцип обратного клапана ✓. Если давления поменять местами, шар просто оторвётся ✓. Проверка предельным случаем: при \(r \to\) радиусу шара сила стремится к \(2P\pi R^{2}\) — максимум, дальше расти некуда ✓.

Ответ \( F = 2\pi r^{2}P \).

Следующая задача 4.1.6 →