Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.1. Давление жидкости

Савченко, задача 4.1.6

Задача 4.1.6◇ коническая пробка

Условие

Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении \(P\). Радиус отверстий \(r\) и \(R\). Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости.

К задаче 4.1.6 (рисунок из условия, перерисован): коническая пробка проходит сквозь плоский сосуд и перекрывает верхнее отверстие радиуса \(R\) и нижнее радиуса \(r\); жидкость между стенками — под давлением \(P\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Пробка касается жидкости только по своей боковой поверхности между двумя отверстиями. Сила на эту поверхность считается через проекцию — а проекция кольцевого пояса конуса на горизонталь есть кольцо между кругами радиусов \(r\) и \(R\).

Считаем. Пусть отверстие радиуса \(r\) — верхнее, радиуса \(R\) — нижнее (пробка расширяется книзу). Жидкость давит на боковую поверхность конуса, зажатую между отверстиями. Вертикальная составляющая силы равна \(P\), умноженному на площадь проекции этого пояса:

\[ F = P\bigl(\pi R^{2}-\pi r^{2}\bigr) = \pi\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr)P. \]

Направлена она вдоль оси — в сторону широкого отверстия, то есть пробку выталкивает туда, где дырка больше.

Почему так. Форма пробки между отверстиями роли не играет: важен только её «след» на плоскости, перпендикулярной оси. Хоть конус, хоть ступенька, хоть бочонок — ответ один и тот же (задача 4.1.4).

Проверка. При \(R = r\) сила равна нулю ✓ — цилиндрическая пробка в двух одинаковых отверстиях никуда не выталкивается. При \(r = 0\) (второго отверстия нет) получаем \(\pi R^{2}P\) ✓ — обычная сила на пробку, закрывающую одну дырку. Размерность ✓. Знак: пробку выдавливает в сторону большего отверстия ✓ — вот почему конические пробки и краны делают так, чтобы давление их вжимало, а не выталкивало ✓. Сравните с задачей 4.1.5: там работала разность давлений, здесь — разность площадей ✓.

Ответ \( F = \pi\bigl(R^{2}-r^{2}\bigr)P \), направлена в сторону большего отверстия.

Следующая задача 4.1.7 →