Условие
Сферический баллон радиуса \(R\) со стенками толщины \(\Delta\) разрывается внутренним давлением \(P\). Определите предел прочности материала стенок.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Мысленно разрежем баллон пополам и рассмотрим равновесие одной половины. Газ изнутри
расталкивает половинки с силой \(P\) на площадь круга (а не полусферы), а держит
их кольцевое сечение стенки.
Разрежем пополам. Внутренний радиус \(R-\Delta\), внешний \(R\). Сила, с которой газ отталкивает половинку,
\[ F_{\text{газ}} = P\,\pi\,(R-\Delta)^{2} \](площадь проекции внутренней полусферы — круг радиуса \(R-\Delta\), задача 4.1.4).
Что держит. Сечение стенки по экватору — кольцо с площадью
\[ S_{\text{стенки}} = \pi R^{2} - \pi (R-\Delta)^{2}. \]Разрыв наступает, когда напряжение в нём достигает предела прочности \(\sigma\):
\[ \sigma\,\bigl[\pi R^{2}-\pi(R-\Delta)^{2}\bigr] = P\,\pi(R-\Delta)^{2}, \] \[ \boxed{\;\sigma = \frac{(R-\Delta)^{2}}{R^{2}-(R-\Delta)^{2}}\;P\;} \]Тонкая стенка. При \(\Delta \ll R\) знаменатель \(\approx 2R\Delta\), и
\[ \sigma \approx \frac{P\,R}{2\Delta}. \]Это классическая формула для сферического сосуда. Запомнить её просто: чем больше баллон и чем тоньше стенка, тем опаснее.
Проверка. Размерность ✓ (\(\sigma\) в паскалях, как и \(P\)).
При \(\Delta\to R\) (сплошной шар) \(\sigma\to0\) ✓ — рвать нечего. При
\(\Delta\to0\) напряжение уходит в бесконечность ✓. Числа: стальной баллон
\(R = 0{,}2\) м, \(\Delta = 5\) мм, \(\sigma = 5\cdot10^{8}\) Па выдержит
\(P = 2\sigma\Delta/R = 2{,}5\cdot10^{7}\) Па \(\approx 250\) атм ✓ — похоже на
правду. Осторожно с задачником: там напечатано
\(\sigma = 2P(R-\Delta)^{2}/[R^{2}-(R-\Delta)^{2}]\) — с лишним множителем 2. При нём
для тонкой стенки получилось бы \(\sigma = PR/\Delta\), а это формула для
цилиндра (кольцевое напряжение), у сферы же вдвое меньше ✓ — потому сферические
сосуды и выгоднее цилиндрических.
Ответ
\( \sigma = \dfrac{(R-\Delta)^{2}}{R^{2}-(R-\Delta)^{2}}\,P \approx \dfrac{PR}{2\Delta} \).