Задача 4.1.22жидкость в скользящем сосуде
Условие
Под каким углом к горизонту расположится поверхность жидкости в сосуде, скользящем по наклонной плоскости, составляющей угол \(\alpha\) с горизонтом, если коэффициент трения равен \(\mu\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Поверхность жидкости всегда перпендикулярна эффективной тяжести
\(\vec g_{\text{эфф}} = \vec g - \vec a\). Ускорение направлено вдоль склона, поэтому
\(\vec g_{\text{эфф}}\) поворачивается — и вместе с ней поворачивается поверхность.
Ускорение. Сосуд скользит вниз по склону:
\[ a = g\,(\sin\alpha - \mu\cos\alpha), \]направлено вдоль склона вниз.
Эффективная тяжесть. Разложим по осям вдоль склона (\(\xi\), вниз) и по нормали к нему (\(\eta\)):
\[ g_{\text{эфф},\,\xi} = g\sin\alpha - a = \mu g\cos\alpha, \qquad g_{\text{эфф},\,\eta} = g\cos\alpha. \](Вдоль склона тяжесть частично «съедена» ускорением, поперёк — нет.)
Наклон поверхности. Поверхность перпендикулярна \(\vec g_{\text{эфф}}\), значит она составляет со склоном угол \(\varphi\), где
\[ \operatorname{tg}\varphi = \frac{g_{\text{эфф},\,\xi}}{g_{\text{эфф},\,\eta}} = \frac{\mu g\cos\alpha}{g\cos\alpha} = \mu \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \operatorname{arctg}\mu. \]Сам склон наклонён на \(\alpha\), а поверхность отклонена от него на \(\operatorname{arctg}\mu\) в сторону «вверх по склону», поэтому к горизонту она наклонена на
\[ \boxed{\;\beta = \alpha - \operatorname{arctg}\mu\;} \]Проверка. Гладкий склон (\(\mu = 0\)): \(\beta = \alpha\) ✓
— поверхность становится параллельной склону, знакомый результат для свободного скольжения.
Сосуд не скользит (\(\mu = \operatorname{tg}\alpha\)): \(\beta = 0\) ✓ — поверхность
горизонтальна, как и должно быть в покое. Промежуточные \(\mu\) дают промежуточные
наклоны ✓, и \(\beta\) всегда между 0 и \(\alpha\) ✓. Замечательно, что \(g\)
сократилось ✓ — угол зависит только от \(\alpha\) и \(\mu\). Красивое следствие: по
наклону поверхности жидкости в скользящем сосуде можно измерить коэффициент трения ✓.
Ответ
\( \beta = \alpha - \operatorname{arctg}\mu \).