Закрытый цилиндр радиуса \(R\), заполненный на три четверти своего объёма жидкостью плотности \(\rho\), вращается в невесомости вместе с жидкостью с угловой скоростью \(\omega\) вокруг своей оси. Как меняется давление в жидкости в зависимости от расстояния до стенок цилиндра?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Где внутренняя граница. Жидкость занимает кольцо от \(s_0\) до \(R\), и его объём составляет \(3/4\) от всего:
\[ \pi\bigl(R^{2}-s_0^{2}\bigr)L = \frac34\pi R^{2}L \quad\Longrightarrow\quad s_0^{2} = \frac{R^{2}}{4}, \qquad s_0 = \frac{R}{2}. \]Набираем давление. Для тонкого слоя между \(s\) и \(s+\Delta s\) центробежная сила \(\rho\,\Delta s\,S\cdot\omega^{2}s\) уравновешивается разностью давлений:
\[ \Delta P = \rho\,\omega^{2}s\,\Delta s. \]Суммируя от \(s_0\) (где \(P=0\)) до \(s\):
\[ P(s) = \frac{\rho\omega^{2}}{2}\bigl(s^{2}-s_0^{2}\bigr) = \frac{\rho\omega^{2}}{2}\left(s^{2}-\frac{R^{2}}{4}\right). \]В переменной «расстояние от стенки». Пусть \(x = R-s\):
\[ \boxed{\;P(x) = \frac{\rho\omega^{2}}{2}\left[(R-x)^{2}-\frac{R^{2}}{4}\right], \qquad 0 \le x \le \frac{R}{2}.\;} \]У стенки (\(x=0\)) давление максимально: \(P_{\max} = \tfrac38\rho\omega^{2}R^{2}\); на внутренней поверхности (\(x=R/2\)) оно обращается в нуль.