Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью \(\omega\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Наклон поверхности. На расстоянии \(x\) от оси эффективная тяжесть имеет компоненты \(\omega^{2}x\) (наружу) и \(g\) (вниз). Поверхность перпендикулярна ей, значит её наклон
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\omega^{2}x}{g}. \]Собираем высоту. Складывая приращения (наклон линейно растёт, поэтому средний наклон на отрезке \([0,x]\) равен половине конечного):
\[ y(x) = \overline{\left(\frac{dy}{dx}\right)}\cdot x = \frac{1}{2}\cdot\frac{\omega^{2}x}{g}\cdot x, \] \[ \boxed{\;y = \frac{\omega^{2}}{2g}\,x^{2}\;} \]— поверхность есть параболоид вращения, отсчитанный от самой низкой точки на оси. Перепад высот от оси до стенки радиуса \(R\) равен \(\omega^{2}R^{2}/(2g)\).
Тот же ответ через давление. На поверхности давление всюду атмосферное. Вдоль радиуса давление растёт как \(\rho\omega^{2}x^{2}/2\) (задача 4.1.23), а вверх убывает как \(\rho g y\). Приравняв, получаем то же \(y = \omega^{2}x^{2}/(2g)\) ✓.