На границе раздела двух жидкостей плотности \(\rho_1\) и \(\rho_2\) плавает шайба
плотности \(\rho\) \((\rho_1<\rho<\rho_2)\). Высота шайбы \(H\). Определите глубину
её погружения во вторую жидкость.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеШайба высоты \(H\) сидит на границе раздела: часть \(h\) — в нижней жидкости,
часть \(H-h\) — в верхней.
Идея
Закон Архимеда работает и в слоёном «бутерброде»: каждый слой выталкивает своей
плотностью ту часть тела, которая в нём находится.
Баланс. Пусть сечение шайбы \(S\), глубина погружения в нижнюю жидкость \(h\).
Тогда в верхней жидкости находится часть высоты \(H-h\):
\[ \underbrace{\rho H S g}_{\text{вес}} \;=\; \underbrace{\rho_1 (H-h) S g}_{\text{сверху}}
\;+\; \underbrace{\rho_2 h S g}_{\text{снизу}}. \]
Площадь и \(g\) сокращаются:
\[ \rho H = \rho_1 H - \rho_1 h + \rho_2 h \quad\Longrightarrow\quad
h(\rho_2-\rho_1) = H(\rho-\rho_1), \]
\[ \boxed{h = H\,\frac{\rho-\rho_1}{\rho_2-\rho_1}} \]
Проверка.
Если \(\rho=\rho_1\), то \(h=0\) ✓ — шайба той же плотности, что верхняя жидкость,
только касается границы. Если \(\rho=\rho_2\), то \(h=H\) ✓ — шайба целиком ушла
в нижнюю жидкость. При \(\rho_1<\rho<\rho_2\) дробь лежит между 0 и 1 ✓.
Формула — обычное «правило рычага» по плотностям: \(\rho\) делит отрезок
\([\rho_1,\rho_2]\) в том же отношении, в каком граница делит шайбу ✓.
Замечание: при \(\rho_1=0\) (сверху воздух) получается школьное
\(h/H=\rho/\rho_2\) ✓.