Тонкостенный стакан массы \(m\) вертикально плавает на границе раздела жидкостей плотности \(\rho_1\) и \(\rho_2\). Определите глубину погружения стакана в нижнюю жидкость, если дно стакана имеет толщину \(h\) и площадь \(S\), а сам стакан заполнен жидкостью плотности \(\rho_1\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что где находится. Пусть \(H\) — глубина погружения (от границы раздела до внешней поверхности дна), \(d\) — глубина, на которой лежит сама граница раздела под свободной поверхностью жидкости \(\rho_1\). Стенки тонкие, их объёмом пренебрегаем. Тогда объём «тела»:
в слое \(\rho_2\) (ниже границы) — столбик сечения \(S\) высоты \(H\);
в слое \(\rho_1\) (выше границы) — только внутренняя жидкость, столбик высоты \(d\).
Вес. Внутренняя жидкость занимает высоту от свободной поверхности до внутренней стороны дна, то есть \(d+H-h\):
\[ P = mg + \rho_1 S (d+H-h)\,g. \]Архимед по слоям.
\[ mg + \rho_1 S (d+H-h) g \;=\; \rho_1 S d\, g + \rho_2 S H g. \]Слагаемые с \(d\) сокращаются — глубина границы раздела в ответ не входит:
\[ m + \rho_1 S H - \rho_1 S h = \rho_2 S H \quad\Longrightarrow\quad S H(\rho_2-\rho_1) = m - \rho_1 S h, \] \[ \boxed{H = \frac{m-\rho_1 h S}{S(\rho_2-\rho_1)}} \]