В жидкости плотности \(\rho_0\) плавает прямоугольный параллелепипед из материала плотности \(\rho\). Высота параллелепипеда \(b\), ширина и длина \(a\). При каком соотношении \(a\) и \(b\) его положение устойчиво?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Осадка. Из Архимеда \(\rho a^2 b = \rho_0 a^2 d\), откуда
\[ d = b\,\frac{\rho}{\rho_0}. \]Центр тяжести \(G\) — на высоте \(b/2\) от дна, центр давления \(B\) (центр погружённой части) — на высоте \(d/2\).
Момент клиньев. При наклоне на малый угол \(\varphi\) с одного борта в воду входит клин, с другого выходит такой же. В сечении это треугольник с катетами \(a/2\) и \((a/2)\varphi\), значит объём клина
\[ V_{\text{кл}} = \frac12\cdot\frac a2\cdot\frac{a\varphi}{2}\cdot a = \frac{a^3\varphi}{8}, \]а его центр тяжести отстоит от оси наклона на \(\tfrac23\cdot\tfrac a2=\tfrac a3\) (центр тяжести треугольника). Вошедший клин добавляет силу \(\rho_0 g V_{\text{кл}}\) вверх, вышедший — «недостачу» такой же силы, то есть силу вниз с другой стороны. Оба момента возвращающие и складываются:
\[ M_{\text{кл}} = 2\,\rho_0 g V_{\text{кл}}\cdot\frac a3 = 2\rho_0 g\,\frac{a^3\varphi}{8}\cdot\frac a3 = \frac{\rho_0 g\,a^4\varphi}{12}. \]Момент пары «вес — Архимед». Обе силы равны \(\rho_0 g V\) (где \(V=a^2d\)), но приложены в точках \(G\) и \(B\), лежащих на оси бруска на расстоянии \(GB = b/2 - d/2\). При наклоне на \(\varphi\) горизонтальное плечо между их линиями действия равно \(GB\cdot\varphi\), и раз \(G\) выше \(B\), эта пара опрокидывает:
\[ M_{\text{пары}} = \rho_0 g V\cdot\frac{b-d}{2}\,\varphi = \rho_0 g\,a^2 d\,\frac{b-d}{2}\,\varphi. \]Условие устойчивости \(M_{\text{кл}}>M_{\text{пары}}\):
\[ \frac{a^4}{12} > a^2\,\frac{d(b-d)}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 > 6\,d\,(b-d). \]Подставим \(d=b\rho/\rho_0\), тогда \(b-d=b(1-\rho/\rho_0)\):
\[ a^2 > 6b^2\,\frac{\rho}{\rho_0}\left(1-\frac{\rho}{\rho_0}\right), \] \[ \boxed{\ \frac ab > \sqrt{6\,\frac{\rho}{\rho_0}\left(1-\frac{\rho}{\rho_0}\right)}\ } \]Любопытное следствие: куб \((a=b)\) плавает вертикально устойчиво только при \(\rho/\rho_0<0{,}21\) или \(>0{,}79\). Деревянный куб с \(\rho/\rho_0=2/3\) в устойчивый «прямой» не встанет — он развернётся ребром или углом вверх ✓, что действительно наблюдается на опыте.