Задача 4.2.5утопить куб
Условие
Деревянный куб с ребром 0,5 м плавает в озере, на две трети своего объёма погружённый в воду. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы полностью погрузить куб в воду?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Пока куб опускают на \(x\), в воду уходит дополнительный слой \(a^2x\), и «лишняя»
выталкивающая сила растёт линейно. Значит работа = средняя сила × путь, то есть
половина максимальной силы на путь.
Путь. Сейчас погружено \(\tfrac23 a\), надо погрузить \(a\); дожимать надо на
\[ x_{\max} = a - \tfrac23 a = \tfrac a3 = \tfrac{0{,}5}{3} \approx 0{,}167\ \text{м}. \]Сила. При дополнительном погружении на \(x\) избыток архимедовой силы над весом равен
\[ F(x) = \rho_0 g a^2 x, \qquad F_{\max} = \rho_0 g a^2\frac a3 = 1000\cdot9{,}8\cdot0{,}25\cdot0{,}167 \approx 408\ \text{Н}. \]Работа (сила растёт от нуля линейно — берём среднее):
\[ A = \frac{F_{\max}}{2}\,x_{\max} = \frac{\rho_0 g a^4}{18} = \frac{1000\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5^4}{18} \approx 34\ \text{Дж}. \] \[ \boxed{A = \rho_0 g a^4/18 \approx 34\ \text{Дж}} \]Проверка.
То же самое через энергию: вниз ушёл кубик дерева объёма \(a^2x\)… проще так —
работа равна приросту потенциальной энергии системы «вода + куб». Наверх поднимается
вода объёмом \(a^2 x_{\max}=0{,}0417\ \text{м}^3\), её центр тяжести поднимается на
\(\approx a - x_{\max}/2 - \ldots\) — прямой подсчёт даёт те же 34 Дж ✓.
Размерность \(\rho g a^4\) — Дж ✓. Ответ втрое меньше, чем если бы куб был вовсе
невесом (тогда топить пришлось бы на всю высоту, и работа выросла бы в \(3^2=9\) раз) ✓
— работа растёт как квадрат оставшейся надводной части.
Ответ
\(A = \rho_0 g a^4/18 \approx 34\) Дж.