Жидкость в начальный момент заполняет вертикальную часть длины \(l\) в тонкой L-образной трубке. Плотность жидкости равна \(\rho\). Найдите, как зависит от времени высота её уровня. Найдите распределение давления в момент, когда высота столба жидкости уменьшится наполовину.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Энергия. Пусть \(h\) — высота столба в вертикальной части, \(S\) — сечение. Общая длина жидкости \(l\) (она не меняется), скорость всюду \(|\dot h|\):
\[ \frac{\rho Sl\,\dot h^2}{2} + \rho S h g\frac h2 = \rho S l\,g\frac l2 = \text{const}. \]Это в точности энергия пружинного маятника: «масса» \(\rho Sl\), «жёсткость» \(\rho Sg\). Значит
\[ \omega = \sqrt{\frac{\rho S g}{\rho S l}} = \sqrt{\frac gl}, \qquad \boxed{h = l\cos\left(t\sqrt{\frac gl}\right)} \]Формула верна, пока \(h\ge0\), то есть до момента \(t=\tfrac{\pi}{2}\sqrt{l/g}\).
Давление при \(h=l/2\). Тогда ускорение всей жидкости
\[ a = \omega^2 h = \frac gl\cdot\frac l2 = \frac g2 \](в вертикальной части — вниз, в горизонтальной — к открытому концу).
Вертикальная часть. Пусть \(x\) — глубина под свободной поверхностью. Столбик длины \(x\) массы \(\rho Sx\) сверху не поджат, снизу давление \(P\):
\[ \rho Sxg - PS = \rho Sx\cdot\frac g2 \ \Longrightarrow\ \boxed{P=\frac{\rho g x}{2}} \]Горизонтальная часть. Пусть \(y\) — расстояние от открытого конца. Столбик длины \(y\) массы \(\rho Sy\) разгоняется вперёд с \(g/2\), спереди давление нулевое:
\[ PS = \rho S y\cdot\frac g2 \ \Longrightarrow\ \boxed{P=\frac{\rho g y}{2}} \]