Задача 4.3.18равноускоренный уровень
Условие
Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Сечение сосуда \(S\), сечение струи \(s\). Уровень воды в сосуде перемещается с постоянным ускорением. Найдите это ускорение.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Скорость уровня жёстко связана с высотой: \(u=(s/S)\sqrt{2gh}\). Это в точности та же
связь, что у свободно падающего тела \(v=\sqrt{2g'\!\cdot\text{путь}}\) — значит движение
равноускоренное, и «эффективное \(g'\)» видно сразу.
Связь. Непрерывность \(Su = sv\) и Торричелли \(v=\sqrt{2gh}\) дают
\[ u = \frac sS\sqrt{2gh} \quad\Longrightarrow\quad u^2 = 2\,\underbrace{g\frac{s^2}{S^2}}_{a}\;h. \]Это соотношение \(u^2=2a\,h\) — формула равноускоренного движения из состояния покоя, где путь есть убыль высоты \(h\). Значит уровень опускается с постоянным ускорением
\[ \boxed{a = g\left(\frac sS\right)^2} \]Проверка.
При \(s=S\) получаем \(a=g\) ✓ — «сосуд» стал самой струёй, вода просто свободно падает.
При \(s\ll S\) ускорение ничтожно ✓ — уровень ползёт почти равномерно, как и наблюдается
в водяных часах.
Размерность ✓. Ускорение постоянно на всём пути, пока справедлива формула Торричелли ✓.
Полное время опорожнения с высоты \(H\): \(t=\sqrt{2H/a}=(S/s)\sqrt{2H/g}\) ✓ — знакомый
результат.
Ответ \(a = g\,(s/S)^2\).