Задача 4.3.20скорость границы полости
Условие
В жидкости плотности \(\rho\) образовалась сферическая полость радиуса \(R\). Давление в жидкости \(P\). Определите скорость границы полости в момент, когда её радиус уменьшится до значения \(r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Работа давления считается через изменение объёма полости, а кинетическая энергия — по всей
жидкости: она движется не только у стенки полости. Скорость слоя на расстоянии \(x\)
находится из несжимаемости: через каждую сферу течёт один и тот же объём в секунду.
Поле скоростей. Пусть граница полости имеет радиус \(r\) и скорость \(v\). Через сферу радиуса \(x>r\) в секунду проходит тот же объём:
\[ 4\pi x^2 u(x) = 4\pi r^2 v \quad\Longrightarrow\quad u(x)=v\,\frac{r^2}{x^2}. \]Кинетическая энергия. Слой толщины \(dx\) имеет массу \(\rho\,4\pi x^2dx\):
\[ E = \int_r^{\infty}\frac{\rho\,4\pi x^2}{2}\,v^2\frac{r^4}{x^4}\,dx = 2\pi\rho v^2r^4\int_r^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 2\pi\rho v^2 r^3. \](Школьный смысл: вся энергия «сидит» в тонком слое возле полости — интеграл сходится.)
Работа давления. Полость сжалась с \(R\) до \(r\), объём уменьшился на \(\tfrac43\pi(R^3-r^3)\), значит внешнее давление совершило работу
\[ A = P\cdot\frac43\pi\left(R^3-r^3\right). \]Приравниваем \(A=E\):
\[ \frac43\pi P\,(R^3-r^3) = 2\pi\rho v^2r^3 \ \Longrightarrow\ \boxed{v = \sqrt{\frac{2P}{3\rho}\left(\frac{R^3}{r^3}-1\right)}} \]Проверка.
При \(r=R\) получаем \(v=0\) ✓ — полость только начала схлопываться.
При \(r\to0\) скорость \(\to\infty\) как \(r^{-3/2}\) ✓ — вот откуда берутся
сверхзвуковые скорости и разрушительный кавитационный удар.
Размерность: \(P/\rho\) — м²/с² ✓.
Числом: вода, \(P=1\) атм, \(r=R/10\): \(v=\sqrt{(2\cdot10^5/3000)\cdot999}
\approx258\) м/с ✓ — уже сравнимо со скоростью звука в воздухе.
Полная энергия при \(r\to0\) стремится к \(\tfrac43\pi R^3P\) ✓ — согласуется с
задачей 4.3.19 (\(E=PV\)).
Ответ
\(v = \sqrt{\dfrac{2P}{3\rho}\left(\dfrac{R^3}{r^3}-1\right)}\).