Задача 4.3.21кавитация на винте
Условие
Оцените, при какой скорости кромки винта катера в воде возникает полость.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
За быстро уходящей кромкой вода должна успеть сомкнуться. Разгоняет её только атмосферное
давление (плюс небольшое гидростатическое). Если требуемая скорость больше той, которую
атмосфера способна сообщить, вода не успевает — образуется пустота.
Условие. Максимальная скорость, до которой давление \(P_0\) может разогнать воду из состояния покоя, находится из \(\rho v^2/2 = P_0\):
\[ v_{\text{кр}} = \sqrt{\frac{2P_0}{\rho}} = \sqrt{\frac{2\cdot10^5}{10^3}} = \sqrt{200}\approx 14\ \text{м/с}. \] \[ \boxed{v \gtrsim 14\ \text{м/с}\approx 50\ \text{км/ч}} \]Проверка.
Это ровно та же величина, что «скорость истечения из-под 10-метрового столба воды» ✓:
1 атм эквивалентна 10 м воды, и \(\sqrt{2g\cdot10}=14\) м/с.
Глубже под водой атмосфере помогает гидростатика, и порог растёт как
\(\sqrt{2(P_0+\rho gh)/\rho}\) ✓ — поэтому глубоко погружённые винты кавитируют меньше.
Оценка правдоподобна: у катерных винтов линейная скорость кромки как раз десятки м/с, и
кавитация — их постоянная беда (шум, потеря тяги, эрозия лопастей) ✓.
Уточнение: реально порог ниже, потому что за кромкой давление падает не до нуля, а до
давления насыщенного пара (\(\approx2\) кПа при 20 °C) — но это лишь на 1 % меняет
оценку ✓.
Ответ
Полость появляется при \(v>\sqrt{2P_0/\rho}\approx14\) м/с.