Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.4. Течение вязкой жидкости

Савченко, задача 4.4.1

Задача 4.4.1течение между движущимися плоскостями

Условие

Пространство между двумя параллельными плоскостями заполнено жидкостью вязкости \(\eta\). Одна из плоскостей движется со скоростью \(v_0\), другая покоится. Найдите распределение скорости жидкости между плоскостями и силу вязкого трения, действующую на единицу площади каждой из плоскостей. Расстояние между плоскостями \(h\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Профиль скорости линейный: каждый слой «тащит» соседний с одинаковой силой, значит и градиент скорости всюду одинаков.

Идея Закон вязкого трения: слои жидкости тянут друг друга с силой на единицу площади \(F=\eta\,\dfrac{\Delta v}{\Delta x}\). При установившемся течении каждый слой покоится или движется равномерно, значит силы сверху и снизу равны — а это и означает, что градиент скорости всюду одинаков.

Постоянство градиента. Возьмём слой между уровнями \(x\) и \(x+\Delta x\). Сверху его тянут с силой \(\eta\,(\Delta v/\Delta x)_{\text{верх}}\), снизу тормозят с \(\eta\,(\Delta v/\Delta x)_{\text{низ}}\). Ускорения нет, значит эти силы равны: градиент один и тот же на всех уровнях.

Профиль. Скорость меняется линейно: от 0 у неподвижной плоскости до \(v_0\) у движущейся:

\[ \boxed{v(x) = v_0\,\frac xh,\qquad 0<x<h;\qquad \frac{\Delta v}{\Delta x} = \frac{v_0}{h}} \]

Сила на единицу площади (одинаковая для обеих плоскостей, по модулю):

\[ \boxed{F = \eta\,\frac{v_0}{h}} \]

Проверка. Размерность: \([\eta]=\) Н·с/м², делим на метры — Н/м² ✓. Чем тоньше слой, тем больше сила ✓ — потому смазку делают тонкой только до предела, а сопротивление в подшипнике растёт при уменьшении зазора. Обе плоскости получают одинаковую по модулю силу ✓ — иначе жидкость в целом ускорялась бы. Мощность, которая уходит в тепло на единицу площади: \(Fv_0=\eta v_0^2/h\) ✓.

Ответ \(v = v_0x/h\); \(F = \eta v_0/h\) на единицу площади каждой плоскости.

Следующая задача 4.4.2 →