Найдите распределение скорости жидкости при установившемся её течении между двумя плоскостями. Расстояние между плоскостями \(h\), вязкость жидкости \(\eta\). Найдите расход жидкости на единицу ширины потока, если перепад давления на единицу длины потока (в направлении движения жидкости) равен \(P\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Равновесие слоя. Возьмём слой от середины \(h/2\) до уровня \(x\), единичной ширины и длины \(L\). Толщина слоя \(|h/2-x|\); сила давления на его торцы \(PL\cdot|h/2-x|\); вязкая сила на нижней грани \(\eta\,\dfrac{\Delta v}{\Delta x}\,L\). Приравнивая:
\[ \eta\,\frac{\Delta v}{\Delta x} = P\left(\frac h2-x\right). \]Профиль. Градиент линеен по \(x\), значит скорость — квадратичная функция, обращающаяся в нуль на обеих стенках:
\[ \boxed{v(x) = \frac{P}{2\eta}\,x\,(h-x),\qquad 0<x<h} \](Проверка: \(\Delta v/\Delta x = \dfrac{P}{2\eta}(h-2x)=\dfrac P\eta\left(\dfrac h2-x\right)\) ✓, и \(v=0\) при \(x=0,h\) ✓.) Максимум посередине: \(v_{\max}=Ph^2/(8\eta)\).
Расход. Площадь под параболой равна \(\tfrac23\) площади описанного прямоугольника:
\[ Q = \frac23\,h\,v_{\max} = \frac23\cdot h\cdot\frac{Ph^2}{8\eta}, \qquad \boxed{Q = \frac{P\,h^3}{12\eta}} \]