а. Определите расход жидкости на единицу ширины потока, стекающего по наклонной плоскости под углом \(\alpha\) к горизонту. Вязкость и плотность жидкости равны соответственно \(\eta\) и \(\rho\). Толщина потока \(h\).
б. Оцените наклон ложа канала глубины 2 м, средняя скорость движения воды в котором равна 1 м/с. Вязкость воды \(10^{-3}\) Н·с/м².
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Баланс слоя. Возьмём слой от уровня \(x\) (считая от дна) до свободной поверхности \(h\), длины \(L\), единичной ширины. Его тянет вниз по склону \(\rho g\sin\alpha\,(h-x)L\), а держит вязкое трение снизу:
\[ \eta\,\frac{\Delta v}{\Delta x} = \rho g\sin\alpha\,(h-x). \]Градиент максимален у дна и нулевой у поверхности ✓. Скорость — половина параболы, равная нулю у дна:
\[ v(x) = \frac{\rho g\sin\alpha}{\eta}\left(hx-\frac{x^2}{2}\right), \qquad v_{\max}=v(h)=\frac{\rho g h^2\sin\alpha}{2\eta}. \]Расход. Площадь под такой «половинкой параболы» составляет \(\tfrac23\) от \(h\,v_{\max}\):
\[ \boxed{Q = \frac23\,h\,v_{\max} = \frac{\rho g h^3\sin\alpha}{3\eta}} \]б. Оценка для канала. Средняя скорость \(\bar v = Q/h = \rho gh^2\sin\alpha/(3\eta)\), откуда
\[ \sin\alpha = \frac{3\eta\bar v}{\rho g h^2} = \frac{3\cdot10^{-3}\cdot1}{10^3\cdot9{,}8\cdot4} \approx 8\cdot10^{-8}. \] \[ \boxed{\alpha \approx 8\cdot10^{-8}\ \text{рад}} \]