Определите установившуюся скорость движения шайбы массы \(m\) и радиуса \(R\) по
наклонной плоскости, образующей угол \(\alpha\) с горизонтом, в случае, когда между
шайбой и плоскостью имеется слой смазки толщиной \(\Delta\) и вязкости \(\eta\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеМежду шайбой и плоскостью — слой смазки толщины \(\Delta\); в нём профиль
скорости линейный, как в задаче 4.4.1.
Идея
Слой смазки — это в точности задача 4.4.1: сверху он «прилип» к шайбе и движется со
скоростью \(v\), снизу покоится. Сила трения на единицу площади \(\eta v/\Delta\);
при установившемся движении она уравновешивает скатывающую составляющую тяжести.
Проверка.
Размерность: кг·м/с²·м/(м²·Н·с/м²) = м/с ✓.
Толще смазка — быстрее скольжение ✓; больше вязкость или площадь — медленнее ✓.
Пример: \(m=0{,}1\) кг, \(R=3\) см, \(\Delta=0{,}1\) мм, \(\eta=1\) Па·с (масло),
\(\alpha=5^{\circ}\): \(v = 0{,}1\cdot9{,}8\cdot10^{-4}\cdot0{,}087/
(\pi\cdot9\cdot10^{-4}\cdot1)\approx0{,}03\) м/с ✓ — медленное сползание, как и
ожидается.
Опечатка в задачнике. В ответах напечатано \(v=2mg\Delta^2/(\pi r^2h\eta)\) —
в этой формуле фигурируют величины \(r\) и \(h\), которых в условии нет, и отсутствует
зависимость от угла наклона \(\alpha\), хотя при \(\alpha = 0\) установившаяся скорость
обязана обращаться в нуль; по-видимому, ответ попал сюда из другой задачи.
Правильный ответ выше; он получается прямо из закона вязкого трения.
Ответ
\(v = mg\Delta\sin\alpha\big/(\pi R^2\eta)\).